📂고전역학

물리진자

정의¹

강체가 고정된 수평축을 중심으로 중력에 의해서 흔들릴 때 이를 물리진자^{physical pendulum}라고 한다.

물리진자

진자 운동은 조화 진동의 한 종류이다. 질량 중심에 작용하는 토크의 크기는 다음과 같다.

$$\begin{align*} N &=\left| \mathbf{r} \times \mathbf{F} \right| \\ &= rF\sin\theta \\ &=lmg \sin\theta \end{align*}$$

토크를 관성 모멘트로 표현하면 $N=I \dot{\omega}=I\ddot{\theta}$ 이므로 아래와 같은 운동 방정식을 얻는다.

$$\begin{align*} && I\ddot{\theta} &= mgl\sin \theta \\ \implies&& I\ddot{\theta} -mgl\sin\theta &=0 \\ \implies && \ddot{\theta} -\frac{mgl}{I}\sin\theta &=0 \end{align*}$$

$\theta$가 충분히 작을 때는 $\sin\theta \approx \theta$이므로 운동 방정식을 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$\ddot{\theta} - \frac{mgl}{I}\theta=0$$

위 미분 방정식은 단순 조화 진동과 같은 꼴이며 해는 아래와 같다.

$$\theta (t) = \theta _{0}\cos (2\pi f_{0}t-\delta)$$

여기서 $\theta_{0}$는 진폭, $\delta$는 위상각, $f_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{mgl }{I}}$는 진동수이다. 주기는 진동수의 역수이므로 아래와 같다.

$$\begin{equation} T_{0}=\frac{1}{f_{0}}=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgl}}=2\pi \sqrt{\frac{ k^{2}}{gl}} \label{eq1} \end{equation}$$

이때 $k$는 선회반경이다.위의 결과는 길이가 $\frac{k^{2}}{l}$인 단진자 운동의 주기와 같다.

진동중심

평행축 정리를 이용하면 관성 모멘트 $I$를 질량 중심에 대한 관성 모멘트 $I_{cm}$으로 나타낼 수 있다.

$$I=I_{cm}+ml^{2}$$

선회반경으로 나타내면 다음과 같다.

$$mk^{2}=mk_{cm}^{2}+ml^{2}$$

위 식에서 $m$을 약분하면 아래의 식을 얻는다.

$$k^{2}=k_{cm}^{2}+l^{2}$$

이를 주기 $\eqref{eq1}$에 대입하면 다음과 같다.

$$T_{0}=2\pi \sqrt{\frac{k_{cm}^{2} +l^{2}}{gl}}$$

여기서 회전축이 $O$에서 $O^{\prime}$으로 바뀐 상황을 생각해보자. 그러면 회전축 $O^{\prime}$에 대한 주기는 아래와 같이 나타남을 알 수 있다.

$$T_{0}^{\prime}=2\pi \sqrt{\frac{k_{cm}^{2}+{l^{\prime}}^{2}}{gl^{\prime}}}$$

따라서 아래의 조건 $$\frac{k_{cm}^{2} +l^{2}}{l}=\frac{k_{cm}^{2}+{l^{\prime}}^{2}}{l^{\prime}}$$

을 만족할 때 회전축 $O$와 회전축 $O^{\prime}$ 주위의 진동 주기는 같다는 것을 알 수 있다. 위 식은 아래와 같이 간단하게 표현할 수 있다.

$$\begin{align*} &&l^{\prime}(k_{cm}^{2}+l^{2}) &= l(k_{cm}^{2}+{l^{\prime}}^{2}) \\ \implies && (l^{\prime}-l)k_{cm}^{2}&=ll^{\prime}(l^{\prime}-l) \\ \implies && k_{cm}^{2}=ll^{\prime} \end{align*}$$

이때 점 $O^{\prime}$을 $O$에 대한 진동 중심^{center of oscillation}이라 한다. 반대로 점 $O$는 점 $O^{\prime}$의 진동 중심이다.