2차원 자율 시스템에서 피리어딕 오빗의 부재성
피리어딕 오빗에 대한 고찰
보통 자율 시스템에서 피리어딕 오빗이 존재하는지에 대한 질문은 상당히 까다로운데, $1,2$차원 공간이라면 비교적 간단하게 그 부재성에 대해서 논할 수 있다. 공간 $X = \mathbb{R}$ 혹은 $X = \mathbb{R}^{2}$ 와 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) $$
1차원
$1$차원 자율 시스템에서는 피리어딕 오빗이 존재하지 않는다. 생각해보면 당연하고 간단하게 귀류법으로 증명할 수 있는데, 그 증명 이전에 $1$차원 벡터필드라는 것을 기하적, 직관적으로 이해하는 것에 큰 의미가 있다.
$1$차원이라도 벡터필드는 벡터필드고, 모든 $x \in \mathbb{R}$ 에 대해 $\dot{x} = f(x)$ 에 따른 방향과 크기가 정확히 하나씩 주어져야한다. 그러나 피리어딕 오빗이 존재한다면 그 사이에 있는 점들은 왼쪽으로도 가고, 오른쪽으로도 갈 수 있어야한다. 이러한 점들의 존재는 시스템이 벡터필드에 의해 정의되는 것과 모순되며, 결국 어떠한 $1$차원 자율 시스템이라도 피리어딕 오빗을 가질 수 없다.
2차원
$2$차원 자율 시스템에서는 영역과 파라미터에 따라 피리어딕 오빗이 존재하지 않음을 보일 수 있다.
(2-1): 예로써 더핑 오실레이터를 생각해보자: $$ \begin{align*} \dot{x} =& f(x,y) = y \\ \dot{y} =& g(x,y) = x - x^{3} - \delta y \qquad , \delta \ge 0 \end{align*} $$
벤딕슨 판정법: 단순 연결 영역 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 에서 $$ {{ \partial f } \over { \partial x }} + {{ \partial g } \over { \partial y }} \ne 0 $$ 의 부호가 바뀌지 않는다면, 주어진 $2$차 벡터필드는 $D$ 내부에서 닫힌 오빗을 갖지 않는다.
모든 $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ 에 대해 $\displaystyle {{ \partial f } \over { \partial x }} = 0$ 이고 $\displaystyle {{ \partial g } \over { \partial y }} = - \delta$ 이므로 $$ {{ \partial f } \over { \partial x }} + {{ \partial g } \over { \partial y }} = - \delta $$ 여기서 $\delta >0$ 면 전체공간 $\mathbb{R}^{2} \subset \mathbb{R}^{2}$ 에서 ${{ \partial f } \over { \partial x }} + {{ \partial g } \over { \partial y }} <0$ 이므로 피리어딕 오빗을 갖지 않는다. 이는 물리적인 직관으로도 설명이 가능하다. $\delta>0$ 이라는 것은 계속해서 에너지의 손실이 일어나 결국엔 멈추게 되므로 피리어딕 오빗이 존재하지 않는 것으로 볼 수 있고, $\delta=0$ 이면 감쇠가 일어나지 않아 갈릴레이의 사고실험처럼 에너지가 보존되어 영원히 같은 운동을 반복할 것이다.
(2-2): $2$차원 자율 시스템에서도 피리어딕 오빗이 존재할 수 있다. 이를 굳이 지적하는 것은 위의 (2-1) 에서 $\delta = 0$ 일 때는 피리어딕 오빗이 존재한다고 분명하게 지적해도 벤딕슨 판정버븨 강렬한 인상 탓에 하여튼 $2$차원에서 피리어딕 오빗은 존재하지 않는다고 오독하는 경우가 종종 있어서다. 예로써 다음과 같은 간단한, 파라미터가 따로 없는 자율 시스템을 생각해보자: $$ \dot{x} = -y \\ \dot{y} = x $$ 이 미분 방정식의 솔루션은 시간 $t$ 에 대해 $$ (x,y) = \left( \cos t , \sin t \right) $$ 와 같이 나타낼 수 있으므로, 초기값이 $p_{0} = (1,0)$ 이라고 하면 그 플로우는 반지름 $1$ 인 단위원 위를 도는 형태가 될 것이다. 따라서 $p_{0}$ 을 지나는 오빗은 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ O(p_{0}) := \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} = 1 \right\} $$
3차원
한편 이러한 논의들이 $2$차원까지만 있는 이유는 $3$차원이 되는 순간 하나의 플로우를 우회하는 방법이 무수히 많이 생겨나기 때문이다. 벡터필드로 정의되는 동역학계에서, 2차원 공간은 하나의 커브에 의해 정확히 두덩어리로 나누어질 수 있다. 이는 그러한 커브와 만나지 않고 제멋대로 행동하는 특이한 플로우가 있을 수 없다는 말이 되고, 그러한 커브가 수축하거나 팽창한다면 그 커브가 만드는 내부와 외부처럼 분리된 두 진영의 플로우 역시 영향을 받는다는 의미가 된다.
$3$차원 공간을 양분할 수 있는 것은 곡면이며, 동역학의 관심을 여기까지로 끌고가기 위해서는 편미분방정식으로 시스템이 정의되어야할 것이다. 마찬가지로 더 높은 차원, 혹은 그와 호메오멀픽한 매니폴드를 생각하고 싶다면 그만큼 공간을 다루는 수준도 올라가야한다.