구좌표계에서의 미소부피
📂수리물리 구좌표계에서의 미소부피 공식 구좌표계에서 미소 부피는 아래와 같다.
d V = r 2 sin θ d r d θ d ϕ
dV=r^{2}\sin\theta dr d\theta d\phi
d V = r 2 sin θ d r d θ d ϕ
구 표면 위의 미소 면적은 d r dr d r
d a = r d θ ⋅ r sin θ d ϕ = r 2 sin θ d θ d ϕ
da=\color{blue}{rd\theta} \cdot \color{red}{r\sin\theta d \phi}=r^{2}\sin\theta d\theta d\phi
d a = r d θ ⋅ r s i n θ d ϕ = r 2 s i n θ d θ d ϕ
설명 그림을 통한 이해
구좌표계에서 미소부피는 위 그림에서 보이는 바와 같이 (초록선의 길이)× \times × × \times × r r r d r \color{green}{dr} d r r r r d θ d\theta d θ r d θ \color{blue}{rd\theta} r d θ r sin θ \color{orange}{r\sin\theta} r s i n θ d ϕ d\phi d ϕ r sin θ d ϕ \color{red}{r\sin\theta d \phi} r s i n θ d ϕ
d V = r 2 sin θ d r d θ d ϕ
dV=r^{2}\sin\theta dr d\theta d\phi
d V = r 2 sin θ d r d θ d ϕ
수식을 통한 이해 직교 좌표를 구 좌표로 표현하면 아래와 같다.
x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ
\begin{align*}
x &= r\sin\theta \cos \phi
\\ y &= r\sin\theta \sin\phi
\\ z &= r\cos\theta
\end{align*}
x y z = r sin θ cos ϕ = r sin θ sin ϕ = r cos θ
직교 좌표계에서 구 좌표계로 좌표를 변환할 때의 자코비안의 행렬식은 아래와 같다.
∣ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ x ∂ ϕ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ∂ y ∂ ϕ ∂ z ∂ r ∂ z ∂ θ ∂ z ∂ ϕ ∣ = ∂ x ∂ r ( ∂ y ∂ θ ∂ z ∂ ϕ − ∂ y ∂ ϕ ∂ z ∂ θ ) + ∂ x ∂ θ ( ∂ y ∂ ϕ ∂ z ∂ r − ∂ y ∂ r ∂ z ∂ ϕ ) + ∂ x ∂ ϕ ( ∂ y ∂ r ∂ z ∂ θ − ∂ y ∂ θ ∂ z ∂ r ) = sin θ cos ϕ ( 0 − r sin θ cos ϕ ( − r sin θ ) ) + r cos θ cos ϕ ( r sin θ cos ϕ cos θ − 0 ) − r sin θ sin ϕ ( sin θ sin ϕ ( − r sin θ ) − r cos θ sin ϕ cos θ ) = r 2 sin 3 θ cos 2 ϕ + r 2 sin θ cos 2 θ cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ sin 3 θ + r 2 cos 2 θ sin 2 ϕ sin θ = r 2 sin θ ( sin 2 θ cos 2 ϕ + cos 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ + cos 2 θ sin 2 ϕ ) = r 2 sin θ ( cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) = r 2 sin θ
\begin{align*}
& \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta } & \dfrac{\partial x}{\partial \phi } \\[1em]
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta } & \dfrac{\partial y}{\partial \phi } \\[1em]
\dfrac{\partial z}{\partial r} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta } & \dfrac{\partial z}{\partial \phi }
\end{vmatrix} \\
&= \frac{\partial x}{\partial r}\left( \frac{\partial y}{\partial \theta }\frac{\partial z}{\partial \phi }-\frac{\partial y}{\partial \phi }\frac{\partial z}{\partial \theta }\right)+\frac{\partial x}{\partial \theta}\left( \frac{\partial y}{\partial \phi }\frac{\partial z}{\partial r }-\frac{\partial y}{\partial r }\frac{\partial z}{\partial \phi } \right)+\frac{\partial x}{\partial \phi}\left( \frac{\partial y}{\partial r }\frac{\partial z}{\partial \theta }-\frac{\partial y}{\partial \theta }\frac{\partial z}{\partial r } \right) \\
&= \sin\theta\cos\phi\left(0-r\sin\theta\cos\phi (-r\sin\theta) \right) \\
&+ r\cos\theta\cos\phi (r\sin\theta \cos\phi \cos\theta - 0) \\
& -r\sin\theta\sin\phi (\sin\theta\sin\phi (-r\sin\theta) - r\cos\theta \sin\phi \cos\theta) \\
&= r^{2}\sin^{3}\theta \cos ^{2}\phi + r^{2}\sin\theta\cos^{2}\theta\cos^{2}\phi \\
&+ r^{2}\sin^{2}\phi\sin^{3}\theta+r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\phi\sin\theta \\
&= r^{2}\sin\theta (\sin^{2}\theta\cos^{2}\phi+\cos^{2}\theta\cos^{2}\phi+\sin^{2}\theta\sin^{2}\phi+\cos^{2}\theta\sin^{2}\phi) \\
&= r^{2}\sin\theta (\cos^{2}\phi+\sin^{2}\phi) \\
&= r^{2}\sin\theta
\end{align*}
∂ r ∂ x ∂ r ∂ y ∂ r ∂ z ∂ θ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ θ ∂ z ∂ ϕ ∂ x ∂ ϕ ∂ y ∂ ϕ ∂ z = ∂ r ∂ x ( ∂ θ ∂ y ∂ ϕ ∂ z − ∂ ϕ ∂ y ∂ θ ∂ z ) + ∂ θ ∂ x ( ∂ ϕ ∂ y ∂ r ∂ z − ∂ r ∂ y ∂ ϕ ∂ z ) + ∂ ϕ ∂ x ( ∂ r ∂ y ∂ θ ∂ z − ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ z ) = sin θ cos ϕ ( 0 − r sin θ cos ϕ ( − r sin θ ) ) + r cos θ cos ϕ ( r sin θ cos ϕ cos θ − 0 ) − r sin θ sin ϕ ( sin θ sin ϕ ( − r sin θ ) − r cos θ sin ϕ cos θ ) = r 2 sin 3 θ cos 2 ϕ + r 2 sin θ cos 2 θ cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ sin 3 θ + r 2 cos 2 θ sin 2 ϕ sin θ = r 2 sin θ ( sin 2 θ cos 2 ϕ + cos 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ + cos 2 θ sin 2 ϕ ) = r 2 sin θ ( cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) = r 2 sin θ
따라서
d V = d x d y d z = ∣ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ x ∂ ϕ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ∂ y ∂ ϕ ∂ z ∂ r ∂ z ∂ θ ∂ z ∂ ϕ ∣ d r d θ d ϕ = r 2 sin θ d r d θ d ϕ
dV=dxdydz=\begin{vmatrix} \frac{ \partial x }{ \partial r} & \frac{ \partial x }{ \partial \theta } & \frac{ \partial x }{ \partial \phi }
\\ \frac{ \partial y }{ \partial r} & \frac{ \partial y }{ \partial \theta } & \frac{ \partial y }{ \partial \phi }
\\ \frac{ \partial z }{ \partial r} & \frac{ \partial z }{ \partial \theta } & \frac{ \partial z }{ \partial \phi }\end{vmatrix}drd\theta d\phi=r^{2}\sin\theta dr d\theta d\phi
d V = d x d y d z = ∂ r ∂ x ∂ r ∂ y ∂ r ∂ z ∂ θ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ θ ∂ z ∂ ϕ ∂ x ∂ ϕ ∂ y ∂ ϕ ∂ z d r d θ d ϕ = r 2 sin θ d r d θ d ϕ
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