📂동역학

벤딕슨 판정법

벤딕슨 판정법

공간 $\mathbb{R}^{2}$ 와 함수 $f,g \in C^{1} \left( \mathbb{R}^{2} \right)$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$\dot{x} = f(x,y) \\ \dot{y} = g(x,y)$$ 단순 연결 영역 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 에서 $${{ \partial f } \over { \partial x }} + {{ \partial g } \over { \partial y }} \ne 0$$ 의 부호가 바뀌지 않는다면, 주어진 $2$차 벡터필드는 $D$ 내부에서 닫힌 오빗을 갖지 않는다.

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• $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 이 단순 연결 영역이라는 것은 $D$ 의 테두리 안쪽으로는 구멍같은 것이 없다는 것이다.

직관적 설명

수식적으로 $f$ 와 $g$ 는 벡터필드 그 자체를 가리키며, 시스템의 발산 $\displaystyle {{ \partial f } \over { \partial x }} + {{ \partial g } \over { \partial y }}$ 은 벡터필드 자체가 변하는 양상을 나타내는 것으로 볼 수 있다. 벡터필드 자체가 변하는 양상이란 기하적으로 플로우가 머무는 영역 자체가 늘어나거나 줄어드는 것으로 볼 수 있다. 이것이 $0$ 이 아니면서 부호도 바뀌지 않는다는 것은 개념적으로 보았을때 $D$ 는 시간의 흐름에 따라 그 형태가 항상 불안정하다는 것이 된다.

증명¹

체인 룰에 의해 $${{ d y } \over { d x }} = {{ d y } \over { d t }} {{ d t } \over { dx }} = {{ g } \over { f }}$$ 양끝변에서 $f dx$ 를 올리면 $$fdy = g dx$$ $D$ 내부에서 닫힌 오빗 $\Gamma$ 가 존재한다고 가정해보면 $f dy - g dx = 0$ 이므로 $\Gamma$ 상에서는 $$\int_{\Gamma} f dy - g dx = 0$$

그린 정리: $$\int_{\mathcal{C}} (Pdx + Qdy) = \iint_{S} (Q_{x} - P_{y}) dx dy$$

그린 정리에 따라 $$0 = \int_{\Gamma} f dy - g dx = \iint_{D} \left( {{ \partial f } \over { \partial x }} + {{ \partial g } \over { \partial y }} \right) dx dy$$ 그러나 영역 $D$ 에서는 $\displaystyle {{ \partial f } \over { \partial x }} + {{ \partial g } \over { \partial y }} \ne 0$ 의 부호가 바뀌지 않는다고 가정했으므로 $$\iint_{D} \left( {{ \partial f } \over { \partial x }} + {{ \partial g } \over { \partial y }} \right) dx dy \ne 0$$ 이어야한다. 이는 모순이므로 $D$ 내부에서 닫힌 오빗 $\Gamma$ 는 존재하지 않는다.

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일반화

듀락 판정법^{dulac’s Criterion}

단순 연결 영역 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 에서 스무스한 함수 $B (x,y)$ 라고 하고 $${{ \partial (Bf) } \over { \partial x }} + {{ \partial (Bg) } \over { \partial y }} \ne 0$$ 의 부호가 바뀌지 않는다면, 주어진 $2$차 벡터필드는 $D$ 내부에서 닫힌 오빗을 갖지 않는다.