일차 형식
정의
$V$를 $n$차원 벡터공간이라 하자. 주어진 상수 $a_{i} \in \mathbb{R}(\text{or } \mathbb{C})$에 대해서, 다음과 선형변환 $A : V \to \mathbb{R}(\text{or } \mathbb{C})$를 일차형식linear form이라 한다.
$$ A(\mathbf{x}) := \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}x_{i} $$
이때 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{bmatrix}^{T}$이다.
일반화
주어진 내적공간 $(V, \left< \cdot, \cdot \right>)$와 $\mathbf{a} \in V$에 대해서, 다음의 선형범함수 $A : V \to \mathbb{F}$를 일차형식이라 한다.
$$ A(\mathbf{x}) = \left< \mathbf{a}, \mathbf{x} \right> $$
이때 $\mathbb{F}$는 벡터공간 $V$의 체이다.
행렬 꼴
$a_{i}$, $x_{i}$들이 실수이면 $\mathbb{R}^{n}$ 상의 일차 형식이라 한다. 또한 상수와 변수를 $\mathbf{a}=\begin{bmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n} \end{bmatrix}^{T}$, $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{bmatrix}^{T}$와 같이 열벡터로 나타내면 일차 형식은 다음과 같이 행렬 내적으로 표현할 수 있다.
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{a}^{T} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} =\sum \limits _{i=1}^{n} a_{i}x_{i} $$