📂거리공간

거리공간에서 연결 집합

정의

거리공간 $X$의 두 부분 집합 $A$, $B$가

$$A \cap \overline{B}= \varnothing \quad \text{and} \quad \overline{A}\cap B= \varnothing$$

을 만족시키면, $A$와 $B$는 분리되었다^separated고 한다. 다시 말해 $B$의 폐포에 포함되는 $A$의 점이 없고, $A$의 폐포에 포함되는 $B$의 점이 없다는 뜻이다. 부분 집합 $E \subset X$가 공집합이 아닌 분리된 두 집합의 합집합으로 표현되지 않으면 $E$는 연결되었다^connected고 한다.

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위의 정의를 곰곰이 생각해보면 ‘연결되었다’라는 것은 ‘확실하게 겹치는 집합들의 합집합으로 표현되는 집합’을 표현하기 위해 만든 개념이라는 것을 알 수 있다.

정리

$E \subset \mathbb{R}$에 대해서 아래의 두 명제는 동치이다.

(a) $E$가 연결 집합이다.

(b) $x ,y\in E$이고 $x<z<y$이면, $z \in E$이다.

증명

• (a) $\Longrightarrow$ (b)

  대우법으로 증명한다. 즉 $z\notin E$이면 $E$는 비연결집합임을 보일 것이다.$z\notin E$라고 가정하자. 두 집합 $A_{z}$, $B_{z}$를 다음과 같다고 하자.

  $$A_{z}=E\cap (-\infty,z),\quad B_{z}=E\cap(z,\infty) \tag{1}$$

  그러면

  $$E=A_{z}\cup B_{z}$$ 가 성립한다. 또한 $(1)$에 의해 $x\in A_{z}$, $y \in B_{z}$이므로 두 집합은 공집합이 아니다. 마찬가지로 $(1)$에 의해 $$A_{z}\cap \overline{B_{z}}=\varnothing,\quad \overline{A_{z}}\cap B_{z}=\varnothing$$ 이므로 $A_{z}$와 $B_{z}$는 분리되어있다. $E$가 공집합이 아닌 분리된 두 집합의 합집합으로 표현되므로 정의에 의해 $E$는 비연결집합이다.

• (a) $\Longleftarrow$ (b)

  마찬가지로 대우법으로 증명한다. 즉 $E$가 비연결이면 $z\notin E$임을 보일 것이다.$E$가 비연결이라고 가정하자. 그러면 정의에 의해 $E=A \cup B$를 만족하는 공집합이 아닌 분리된 두 집합 $A$, $B$가 존재한다. $A$, $B$는 공집합이 아니므로 임의의 $x\in A$, $y\in B$를 선택할 수 있다. 일반성을 잃지 않고 $x<y$라고 하자. 그리고 $z$를 다음과 같다고 하자.

  $$z =\sup (A\cap [x,y])$$

  그러면 폐포의 성질¹에 의해 다음이 성립한다.

  $$z \in \overline{A\cap [x,y]} \subset \overline{A}$$

  그러면 가정에 의해 $A$, $B$는 분리되어있으므로 $z \notin B$이다. 이제 두 경우를 나누어 생각해보자.

  • case 1. $z \notin A$

    $z \notin A$, $z \notin B$이고 $E=A \cup B$이므로, $z\notin E$

  • case 2. $z\in A$

    가정에 의해 $A$와 $B$는 분리되어 있으므로 $z \notin \overline{B}$이다. 따라서 위 증명과정에서의 $x$를 $z$로 놓으면

    $$z<z_{1}<y,\quad z_{1}\notin B$$

    를 만족하는 $z_{1}$가 존재하고 $x<z_{1}<y$, $z_{1}\notin E$를 만족함을 알 수 있다.

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