📂정수론

지수승강 보조정리 증명

정리

$n \in \mathbb{N}$, $x , y \in \mathbb{Z}$, 소수 $p \ne 2$ 가 $$ \gcd (n,p) = 1 \\ p \mid (x - y) \\ p \nmid x \\ p \nmid y $$ 를 만족하면 $$ v_{p} \left( x^{n} - y^{n} \right) = v_{p} \left( x - y \right) + v_{p} (n) $$

• $v_{p} (a)$ 는 $a$ 의 $p$-진수 부치를 의미한다.

증명 ¹

전략: $p$-진수 부치의 성질들에서 자연스럽게 연역된다. 그런데 정작 그 성질들을 증명하는 과정이 꽤 길다. 관건은 아래의 성질들을 앞서 보이는 것인데, 초등적인 정수론 지식만으로도 증명할 수 있으니 겁 먹지 말고 도전해보자.

보조정리($p$-진수의 성질):

• [3]: $n \in \mathbb{N}$, $x , y \in \mathbb{Z}$, 소수 $p$ 가 $$ \gcd (n,p) = 1 \\ p \mid (x \mp y) \\ p \nmid x \\ p \nmid y $$ 를 만족하면 $$ v_{p} \left( x^{n} \pm y^{n} \right) = v_{p} \left( x \pm y \right) $$
• [4]: $x , y \in \mathbb{Z}$, 소수 $p \ne 2$ 가 $$ p \mid (x - y) \\ p \nmid x \\ p \nmid y $$ 를 만족하면 $$ v_{p} \left( x^{p} - y^{p} \right) = v_{p} \left( x - y \right) +1 $$

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$$ n := p^{\alpha} b \\ \gcd (p,b) = 1 $$ 위의 두가지 조건을 만족하게끔 자연수 $n, b , \alpha$ 를 잡으면 $v_{p} (n) = \alpha$ 다. 그러면 보조 정리 [3]에 의해 $$ \begin{align*} v_{p} \left( x^{n} - y^{n} \right) =& v_{p} \left( \left[ x^{p^{\alpha}} \right]^{b} - \left[ y^{p^{\alpha}} \right]^{b} \right) \\ =& v_{p} \left( x^{p^{\alpha}} - y^{p^{\alpha}} \right) \\ =& v_{p} \left( \left[ x^{p^{\alpha - 1}} \right]^{p} - \left[ y^{p^{\alpha - 1}} \right]^{p} \right) \end{align*} $$ 보조 정리 [4]를 써서 재귀적으로 풀어내면 $$ \begin{align*} v_{p} \left( \left[ x^{p^{\alpha - 1}} \right]^{p} - \left[ y^{p^{\alpha - 1}} \right]^{p} \right) =& v_{p} \left( \left[ x^{p^{\alpha - 1}} \right] - \left[ y^{p^{\alpha - 1}} \right] \right) + 1 \\ =& v_{p} \left( \left[ x^{p^{\alpha - 2}} \right]^{p} - \left[ y^{p^{\alpha - 2}} \right]^{p} \right) + 1 \\ =& v_{p} \left( \left[ x^{p^{\alpha - 2}} \right] - \left[ y^{p^{\alpha - 2}} \right] \right) + 2 \\ &\vdots& \\ =& v_{p}(x-y) + \alpha \\ =& v_{p}(x-y) + v_{p} (n) \end{align*} $$ 정리하면 다음을 얻는다. $$ v_{p} \left( x^{n} - y^{n} \right) = v_{p} \left( x - y \right) + v_{p} (n) $$

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