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등비수열의 합 구하기

공식

초항이 $a$ 고 공비가 $r$인 등비수열 $a_{n} = a r^{n-1}$ 에 대해, $$\sum_{k=1}^{n} a_{k}= {{a (1- r^{n} ) } \over {1-r}}$$

증명

$\displaystyle S= \sum_{k=1}^{n} a_{k}$ 라고 하자. 그러면 $$S= a + ar + \cdots + ar^{n-2} + ar^{n-1}$$ 양변에 $r$ 을 곱하면 $$rS= ar + a r^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^{n}$$ 여기서 위의 두 식에 대해서 양변을 빼면 $$S - rS = (1-r)S = a- a r^n$$ 오른쪽의 두 식을 $1-r$로 나누면 $$S=\sum_{k=1}^{n} a_{k}= {{a (1- r^{n} ) } \over {1-r}}$$

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설명

등차수열의 합과는 달리 이 자체만으로도 굉장히 많이 쓰이는 공식이다. 증명법도 조금 다를 뿐이라서 따로 더 공부해야할만큼 어렵지는 않다.

등비급수는 기하급수^{geometric series}라도 부른다. 사람들이 흔히 엄청나게 커진다는 걸 말할때 ‘기하급수적으로’라는 표현을 쓰는데, 그게 이 말이다. 즉 대부분의 수학을 잘 모르는 사람들은 기하급수적이라는 말을 잘못 쓰고 있는 것이다.

등비급수에서 $n$ 이 무한대로 커진다면 어떻게 될까? $|r|<1$ 이면 수렴하고, $|r|>1$이라면 발산할 것이다. 등비급수에서 이렇게 $n \to \infty$를 생각한 것을 ‘무한등비급수’라고 한다.

무한등비급수

$|r|<1$일 때, $$\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = { a \over {1-r}}$$

$n \to \infty$일 때 $ar^n \to 0$이므로 등비급수에서 자연스럽게 유도된다.