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해석학에서 미분적분학의 기본정리1 📂해석개론

해석학에서 미분적분학의 기본정리1

정리1

ff가 구간 [a,b][a,b]에서 리만 적분 가능한 함수라고 하자. 그리고 a≤x≤ba\le x \le b에 대해서 FF를 아래와 같이 두자.

F(x)=∫axf(t)dt F(x) = \int _{a} ^{x} f(t)dt

  • (a) 그러면 FF는 [a,b][a,b]에서 연속이다.
  • (b) 만약 ff가 x0∈[a,b]x_{0}\in [a,b]에서 연속이면, FF는 x0x_{0}에서 미분 가능하고 F′(x0)=f(x0)F^{\prime}(x_{0})=f(x_{0})를 만족한다.

설명

미분적분학의 기본정리1이라는 이름으로 유명한 정리이다. 흔히 FTC1Funcamental Theorem of Calculus1라고 줄여 부른다. ff의 정적분으로 정의된 FF가 미분가능하면 ff를 도함수로 갖는다는 의미를 갖는다.

증명

(a)

ff가 적분 가능하다고 가정했으므로 유계이다. 따라서 M=sup⁡[a,b]∣f∣<∞M=\sup \limits_{[a,b]}\left| f \right| <\infty이다. 이때 M=0M=0이라면 f=F=0f=F=0이라 자명하다. 따라서 M>0M>0이라고 하자. 그리고 a≤x<y≤ba\le x< y \le b라고 하자. 적분가능성은 구간내에서 보존되므로 다음이 성립한다.

∣F(y)−F(x)∣=∣∫ayf(t)dt−∫axf(t)dt∣=∣∫axf(t)dt+∫xyf(t)dt−∫axf(t)dt∣=∣∫xyf(t)dt∣ \begin{equation} \begin{aligned} \left| F(y)-F(x) \right| &= \left| {\color{blue}\int_{a}^{y}f(t)dt}-\int_{a}^{x}f(t)dt \right| \\ &= \left| {\color{blue} \int_{a}^{x}f(t)dt+\int_{x}^{y}f(t)dt}-\int_{a}^{x}f(t)dt \right| \\ &= \left| \int_{x}^{y}f(t)dt \right| \end{aligned} \label{eq1} \end{equation}

또한 적분의 절댓값은 절댓값의 적분보다 작으므로 다음이 성립한다.

∣F(y)−F(x)∣=∣∫xyf(t)dt∣≤∫xy∣f(t)∣dt≤∫xyMdt=M(y−x) \begin{equation} \begin{aligned} \left| F(y)-F(x) \right| &= \left| \int_{x}^{y}f(t)dt \right| \\ & \le \int_{x}^{y}\left| f(t) \right|dt \\ &\le \int_{x}^{y}Mdt \\ &= M(y-x) \end{aligned} \label{eq2} \end{equation}

이를 정리하면 다음과 같다.

∣F(x)−F(y)∣≤M(y−x) \left| F(x)-F(y) \right| \le M(y-x)

이제 임의의 양수 ε>0\varepsilon >0가 주어졌다고 하자. 그리고 δ=εM\delta = \dfrac{\varepsilon}{M}이라고 하자. 그러면 다음이 성립함을 알 수 있다.

∣y−x∣<δ  ⟹  ∣F(y)−F(x)∣<ε,∀x,y∈[a,b] \left|y-x \right| <\delta \quad \implies \quad \left|F(y)-F(x) \right|<\varepsilon,\quad \forall x,y \in [a,b]

따라서 연속 함수의 정의에 의해 FF는 연속2이다.

■

(b)

임의의 양수 ε>0\varepsilon >0가 주어졌다고 하자. ff가 x0x_{0}에서 연속이라고 가정했으므로 정의에 의해 다음을 만족하는 δ>0\delta >0가 존재한다.

∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(x0)∣<ε,x∈[a,b] \begin{equation} \left|x-x_{0} \right| <\delta \quad \implies \quad \left|f(x)-f(x_{0}) \right|<\varepsilon,\quad x\in[a,b] \label{eq3} \end{equation}

그러면 미분 계수의 정의에 의해 다음을 보이면 증명이 끝난다.

F′(x0):=lim⁡x→x0F(x)−F(x0)x−x0=f(x0) F^{\prime}(x_{0}) := \lim \limits_{x\to x_{0}}\frac{F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}} = f(x_{0})

이제 t∈[a,b]t \in [a,b]가 x0<t<x0+δx_{0} < t <x_{0}+\delta를 만족한다고 하자.(x0−δ<t<x0x_{0}-\delta < t < x_{0}인 경우에도 아래에서 부호가 조금 바뀔 뿐 과정은 똑같다.) 그러면 다음이 성립한다.

∣F(t)−F(x0)t−x0−f(x0)∣=∣1t−x0(∫atf(x)dx−∫ax0f(x)dx)−f(x0)∣=∣1t−x0∫x0tf(x)dx−f(x0)∣=∣1t−x0∫x0tf(x)dx−1t−x0∫x0tf(x0)dx∣=∣1t−x0∫x0t(f(x)−f(x0))dx∣<∣1t−x0∫x0tεdx∣<∣1t−x0ε(t−x0)∣=ε \begin{align*} \left| \frac{F(t)-F(x_{0})}{t-x_{0}}-f(x_{0}) \right| &=\left| \frac{1}{t-x_{0}}\left( \int_{a}^{t}f(x)dx-\int_{a}^{x_{0}}f(x)dx \right) -f(x_{0}) \right| \\ &=\left|\frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}f(x)dx -f(x_{0}) \right| \\ &=\left| \frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}f(x)dx -\frac{1}{t-x_{0}}\int_{x_{0}}^{t}f(x_{0})dx \right| \\ &=\left| \frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}\left( f(x)-f(x_{0}) \right)dx \right| \\ &< \left| \frac{1}{t-x_{0}} \int_{x_{0}}^{t}\varepsilon dx \right| \\ &< \left| \frac{1}{t-x_{0}}\varepsilon (t-x_{0}) \right| \\ &= \varepsilon \end{align*}

두번째 등호는 (eq1)\eqref{eq1}이 성립하는 것과 같은 이유로 성립한다. 세번째 등호는 (eq2)\eqref{eq2}가 성립하는 것과 같은 이유로 성립한다. 네번째 등호는은 적분이 선형이므로 성립한다. 첫번째 부등호는 (eq3)\eqref{eq3}에 의해서 성립한다. ε\varepsilon는 임의의 양수이므로 다음을 얻는다.

F(t)−F(x0)t−x0=f(x0) \frac{F(t)-F(x_{0})}{t-x_{0}}=f(x_{0})

따라서 다음이 성립한다.

F′(x0)=lim⁡t→x0F(t)−F(x0)t−x0=lim⁡t→x0f(x0)=f(x0) F^{\prime}(x_{0})=\lim \limits_{t\to x_{0}}\frac{F(t)-F(x_{0})}{t-x_{0}}=\lim \limits_{t\to x_{0}}f(x_{0})=f(x_{0})

그러므로 FF는 x0x_{0}에서 미분 가능하고, x0x_{0}에서 미분 계수의 값은 f(x0)f(x_{0})와 같다.

■

같이보기

  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p133-134 ↩︎

  2. 정확히는 균등 연속이지만, 균등 연속이면 연속이다. ↩︎