📂동역학

미분방정식로 표현되는 시스템의 오빗과 리미트 사이클

정의

공간 $X$ 와 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) $$ 초기시점 $t_{0}$ 과 초기점 $x_{0}$ 에 대한 위 자율 시스템의 플로우를 $x(t,t_{0},x_{0})$ 와 같이 나타낸다고 하자.

1. 그러면 $x_{0} \in X$ 를 지나는 오빗^orbit$O(x_{0})$ 을 다음과 같이 나타낸다¹. $$ O(x_{0}) := \left\{ x \in X : x = x(t, t_{0} , x_{0}) \right\} $$ 물론 모든 시점 $T \in I$ 에 대해서 $O\left( x (T , t_{0} , x_{0}) \right) = O (x_{0})$ 이다.
2. 오빗이 모든 $t \in \mathbb{R}$ 에 대해 다음을 만족시키는 $T > 0$ 이 존재하면 $T$-피리어딕하다고 하고, 그 오빗을 피리어딕 오빗^{periodic orbit}이라 한다². $$ x(t,t_0) = x(t + T,t_0) $$
3. 고정점 하나만을 포함하는 홑원소 집합이 아닌 피이어딕 오빗을 사이클^cycle이라 한다.
4. 근방^neighborhood에 다른 사이클이 존재하지 않는 사이클을 리미트 사이클^{limit cycle}이라 한다³.

예시

예로써 다음과 같은 간단한 자율 시스템을 생각해보자: $$ \dot{x} = -y \\ \dot{y} = x $$ 이 미분 방정식의 솔루션은 시간 $t$ 에 대해 $$ (x,y) = \left( \cos t , \sin t \right) $$ 와 같이 나타낼 수 있으므로, 초기값이 $p_{0} = (1,0)$ 이라고 하면 그 플로우는 반지름 $1$ 인 단위원 위를 도는 형태가 될 것이다. 따라서 $p_{0}$ 을 지나는 오빗은 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ O(p_{0}) := \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} = 1 \right\} $$ 이 오빗은 특히 주기성을 가지고 플로우가 같은 점을 지나므로 $2 \pi$-피리어딕 하기도 하다.