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2차/3차/n차 방정식의 근과 계수의 관계 📂추상대수

2차/3차/n차 방정식의 근과 계수의 관계

공식

2차 방정식의 근과 계수의 관계

2차 방정식 ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0의 두 근을 α\alpha, β\beta라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다.

α+β=−ba&αβ=ca \alpha+\beta=-\frac{b}{a}\quad \& \quad \alpha\beta= \frac{ c}{a}

3차 방정식의 근과 계수의 관계

3차 방정식 ax3+bx2+cx+d=0ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0의 세 근을 α\alpha, β\beta, γ\gamma라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다.

α+β+γ=−ba&αβ+βγ+γα=ca&αβγ=−da \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}\quad \& \quad \alpha\beta + \beta \gamma +\gamma \alpha = \frac{c}{a}\quad \& \quad \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}

증명

2차 방정식

2차항의 계수가 aa이고 두 근이 α\alpha, β\beta인 2차 방정식은 아래와 같이 표현된다.

a(x−α)(x−β)=0 a(x-\alpha) ( x-\beta)=0

좌변을 풀어보면

a(x−α)(x−β)=a[x2−(α+β)x+αβ]=ax2−a(α+β)x+aαβ \begin{align*} a(x-\alpha) (x -\beta) &= a \left[ x^{2}-(\alpha +\beta)x+\alpha \beta \right] \\ &= ax^{2} -a(\alpha + \beta) x +a\alpha \beta \end{align*}

따라서

b=−a(α+β)&aαβ=c b=-a(\alpha + \beta)\quad \& \quad a\alpha\beta=c

위 식을 두 근에 대해서 정리하면

α+β=−ba&αβ=ca \alpha+\beta=-\frac{b}{a}\quad \& \quad \alpha\beta= \frac{ c}{a}

■

3차 방정식

증명 방법은 2차 방정식의 경우와 같다. 3차항의 계수가 aa이고 세 근이 α\alpha, β\beta, γ\gamma인 3차 방정식은 아래와 같이 표현된다.

a(x−α)(x−β)(x−γ)=0 a(x-\alpha) (x-\beta) (x-\gamma)=0

좌변을 풀어보면

a(x−α)(x−β)(x−γ)=a[x2−(α+β)x+αβ](x−γ)=a[x2−(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+γα)x−αβγ]=ax2−a(α+β+γ)x2+a(αβ+βγ+γα)x−aαβγ \begin{align*} a(x-\alpha) (x-\beta) (x-\gamma) &= a[x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta] (x-\gamma) \\ &= a\left[x^{2}-(\alpha + \beta + \gamma )x^{2}+(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma \alpha)x-\alpha\beta\gamma \right] \\ &= ax^{2}-a(\alpha + \beta + \gamma )x^{2}+a(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma \alpha)x-a\alpha\beta\gamma \end{align*}

따라서

b=−a(α+β+γ)&c=a(αβ+βγ+γα)&d=−aαβγ b=-a(\alpha+\beta + \gamma) \quad \& \quad c=a(\alpha\beta+\beta \gamma +\gamma \alpha) \quad \& \quad d=-a\alpha\beta\gamma

위 식을 세 근에 대해서 정리하면

α+β+γ=−ba&αβ+βγ+γα=ca&αβγ=−da \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}\quad \& \quad \alpha\beta + \beta \gamma +\gamma \alpha = \frac{c}{a}\quad \& \quad \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}

■

4차 이상의 방정식의 근과 계수의 관계

위 두 공식으로부터 근이 α\alpha, β\beta, γ\gamma, δ\delta인 4차 방정식 av4+bx3+cx2+dx+e=0av^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0의 근과 계수의 관계는 아래와 같을 것이라고 추측할 수 있고 실제로 그러하다.

α+β+γ+δ=−ba&αβ+βγ+γδ+δα=caαβγ+βγδ+γδα+δαβ=−ca&αβγδ=da \begin{align*} \alpha+\beta+\gamma+\delta= -\frac{b}{a}&& \& && \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\delta + \delta\alpha=\frac{c}{a} \\ \alpha\beta\gamma + \beta\gamma\delta+\gamma\delta\alpha+\delta\alpha\beta=-\frac{c}{a} && \& && \alpha\beta\gamma\delta=\frac{d}{a} \end{align*}

물론 임의의 nn차 방정식에 대해서도 같은 방식으로 근과 계수의 관계가 성립한다. 최고 차항부터 계수가 a, b, c, d, e, f, ⋯a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ \cdots라고 하면

모든 근의 합=−ba모든 ‘두 근의 곱’의 합=ca모든 ‘세 근의 곱’의 합=−da모든 ‘네 근의 곱’의 합=ea모든 ‘다섯 근의 곱’의 합=−fa⋮ \begin{align*} \text{모든 근의 합} &= -\frac{b}{a} \\ \text{모든 ‘두 근의 곱’의 합} &= \frac{c}{a} \\ \text{모든 ‘세 근의 곱’의 합} &= -\frac{d}{a} \\ \text{모든 ‘네 근의 곱’의 합} &= \frac{e}{a} \\ \text{모든 ‘다섯 근의 곱’의 합} &= -\frac{f}{a} \\ \vdots& \end{align*}