타원의 둘레
📂기하학 타원의 둘레 대부분의 자료에서 제2 종 타원적분이 어떻게 유도되는지 그 과정이 자세하게 나와있지 않다. 있더라도 틀린 경우가 많아‘정확하고’ ‘자세한’ 내용을 직접 작성했다. 참고로 보아스 수리물리학 3판의 내용도 틀렸다.
공식 장반경이 a a a b b b k 2 k^{2} k 2 타원 의 둘레는 다음과 같이 계산된다.
E = 4 a ∫ 0 π 2 1 − k 2 cos 2 θ d θ , k 2 = a 2 − b 2 a 2
E=4a\int _{0} ^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}} \sqrt{ 1-k^{2}\cos^{2} \theta } d\theta,\quad k^{2}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}
E = 4 a ∫ 0 2 π 1 − k 2 cos 2 θ d θ , k 2 = a 2 a 2 − b 2
유도 우선 타원 위의 점 P = ( x , y ) P=(x,y) P = ( x , y ) P P P O O O x x x P P P x 2 + y 2 = a 2 ( x 2 + y 2 = b 2 ) x^{2}+y^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}=b^{2}) x 2 + y 2 = a 2 ( x 2 + y 2 = b 2 ) O O O x x x x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) {\textstyle \frac{x^{2}}{a^{2}}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0) a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 ( a > b > 0 ) x 2 + y 2 = a 2 x^{2}+y^{2}=a^{2} x 2 + y 2 = a 2 x 2 + y 2 = b 2 x^{2}+y^{2}=b^{2} x 2 + y 2 = b 2
위 그림을 통해 x = a cos θ x=a\cos \theta x = a cos θ
a 2 cos 2 θ a 2 + y 2 b 2 = 1 ⟹ cos 2 θ + y 2 b 2 = 1
\begin{align*}
&&\frac{a^{2}\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}&=1
\\ \implies &&\cos ^{2}\theta+\frac{y^{2}}{b^{2}}&=1
\end{align*}
⟹ a 2 a 2 cos 2 θ + b 2 y 2 cos 2 θ + b 2 y 2 = 1 = 1
따라서 y = b sin θ y=b\sin \theta y = b sin θ E E E
E = ∫ 0 2 π ( d x d θ ) 2 + ( d y d θ ) 2 d θ = ∫ 0 2 π ( − a sin θ ) 2 + ( b cos θ ) 2 d θ = ∫ 0 2 π a 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ d θ = ∫ 0 2 π a 2 − a 2 cos 2 θ + b 2 cos 2 θ = ∫ 0 2 π a 1 − a 2 − b 2 a 2 cos 2 θ d θ
\begin{align*}
E &= \int _{0} ^{2\pi} \sqrt{ \left( \frac{dx}{d\theta} \right)^{2} + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^{2}}d\theta
\\ &= \int _{0} ^{2\pi} \sqrt{ \left( -a\sin \theta \right)^{2} + \left( b\cos \theta \right)^{2}}d\theta
\\ &=\int _{0} ^{2\pi} \sqrt{ a^{2}\sin^{2}\theta+ b^{2}\cos^{2} \theta } d\theta
\\ &=\int _{0} ^{2\pi} \sqrt{ a^{2}-a^{2}\cos^{2}\theta+ b^{2}\cos^{2} \theta }
\\ &=\int _{0} ^{2\pi} a\sqrt{ 1-\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}\cos^{2} \theta } d\theta
\end{align*}
E = ∫ 0 2 π ( d θ d x ) 2 + ( d θ d y ) 2 d θ = ∫ 0 2 π ( − a sin θ ) 2 + ( b cos θ ) 2 d θ = ∫ 0 2 π a 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ d θ = ∫ 0 2 π a 2 − a 2 cos 2 θ + b 2 cos 2 θ = ∫ 0 2 π a 1 − a 2 a 2 − b 2 cos 2 θ d θ
이때 a 2 − b 2 a 2 ( b < a ) \sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}(b<a) a 2 a 2 − b 2 ( b < a ) 이심률 이며 ϵ \epsilon ϵ k k k
E = 4 a ∫ 0 π 2 1 − k 2 cos 2 θ d θ , k 2 = a 2 − b 2 a 2
E=4a\int _{0} ^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}} \sqrt{ 1-k^{2}\cos^{2} \theta } d\theta,\quad k^{2}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}
E = 4 a ∫ 0 2 π 1 − k 2 cos 2 θ d θ , k 2 = a 2 a 2 − b 2
이때 만약 타원이 y y y b > a > 0 b>a>0 b > a > 0
그러면 타원의 둘레는 다음과 같다.
E = 4 b ∫ 0 π 2 1 − k 2 sin 2 θ d θ , k 2 = b 2 − a 2 b 2
E=4b\int _{0} ^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}} \sqrt{ 1-k^{2}\sin^{2} \theta } d\theta ,\quad k^{2}=\frac{b^{2}-a^{2} }{b^{2}}
E = 4 b ∫ 0 2 π 1 − k 2 sin 2 θ d θ , k 2 = b 2 b 2 − a 2
이때 위의 적분을 특별히 제2 종 타원 적분 , 혹은 완전 제2 종 타원적분 이라 부르고 아래와 같이 표기한다.
E ( k ) = ∫ 0 π 2 1 − k 2 sin 2 θ d θ
E(k) = \int_{0}^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}}\sqrt{ 1-k^{2}\sin^{2} \theta } d\theta
E ( k ) = ∫ 0 2 π 1 − k 2 sin 2 θ d θ
계산 위의 타원 적분은 초등함수로 나타낼 수 없고 수치적인 계산으로만 구할 수 있다. k k k
b = 1.1547 b=1.1547 b = 1.1547 a = 1 a=1 a = 1 k = 0.5 k=0.5 k = 0.5 E ( 0.5 ) = 1.351 E(0.5)=1.351 E ( 0.5 ) = 1.351 x 2 + y 2 1.154 7 2 = 1 x^{2}+\frac{ y^{2}}{1.1547^{2}}=1 x 2 + 1.154 7 2 y 2 = 1
4 b E ( k ) = 4 × 1.1547 × 1.351 = 6.239
4bE(k)=4\times 1.1547 \times 1.351=6.239
4 b E ( k ) = 4 × 1.1547 × 1.351 = 6.239
이고 이면 이다. 이므로 타원 의 둘레는 다음과 같다.