📂기하학

타원의 둘레

대부분의 자료에서 제2 종 타원적분이 어떻게 유도되는지 그 과정이 자세하게 나와있지 않다. 있더라도 틀린 경우가 많아¹ ‘정확하고’ ‘자세한’ 내용을 직접 작성했다. 참고로 보아스 수리물리학 3판의 내용도 틀렸다.

공식

장반경이 $a$, 단반경이 $b$, 이심률이 $k^{2}$인 타원의 둘레는 다음과 같이 계산된다.

$$ E=4a\int _{0} ^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}} \sqrt{ 1-k^{2}\cos^{2} \theta } d\theta,\quad k^{2}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} $$

유도

우선 타원위의 점 $P=(x,y)$를 각도를 통해 표현해보자. 다만 이 때의 각도는 $P$와 원점 $O$와 $x$축이 이루는 각도가 아니다. $P$에서 그은 수직선(수평선)이 원 $x^{2}+y^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}=b^{2})$와 만나는 점이 $O$와 $x$축과 이루는 각도이다. 아래의 그림을 보자. 타원 ${\textstyle \frac{x^{2}}{a^{2}}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0)$과 두 원 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, $x^{2}+y^{2}=b^{2}$이 그려져있다.

위 그림을 통해 $x=a\cos \theta$임은 자명하다. 이를 타원의 방정식에 대입해보면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} &&\frac{a^{2}\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}&=1 \\ \implies &&\cos ^{2}\theta+\frac{y^{2}}{b^{2}}&=1 \end{align*} $$

따라서 $y=b\sin \theta$. 그러면 타원의 둘레 $E$를 아래와 같이 계산할 수 있다.

$$ \begin{align*} E &= \int _{0} ^{2\pi} \sqrt{ \left( \frac{dx}{d\theta} \right)^{2} + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^{2}}d\theta \\ &= \int _{0} ^{2\pi} \sqrt{ \left( -a\sin \theta \right)^{2} + \left( b\cos \theta \right)^{2}}d\theta \\ &=\int _{0} ^{2\pi} \sqrt{ a^{2}\sin^{2}\theta+ b^{2}\cos^{2} \theta } d\theta \\ &=\int _{0} ^{2\pi} \sqrt{ a^{2}-a^{2}\cos^{2}\theta+ b^{2}\cos^{2} \theta } \\ &=\int _{0} ^{2\pi} a\sqrt{ 1-\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}\cos^{2} \theta } d\theta \end{align*} $$

이때 $\sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}(b<a)$는 타원의 이심률이며 $\epsilon$이나 $k$로 표기한다. 1사분면의 둘레만 계산해서 4배하면 둘레가 나오므로, 최종적으로 타원의 둘레는 다음과 같다.

$$ E=4a\int _{0} ^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}} \sqrt{ 1-k^{2}\cos^{2} \theta } d\theta,\quad k^{2}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} $$

이때 만약 타원이 $y$축 쪽으로 더 길어서 $b>a>0$인 조건이라면 아래 그림과 같다.

그러면 타원의 둘레는 다음과 같다.

$$ E=4b\int _{0} ^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}} \sqrt{ 1-k^{2}\sin^{2} \theta } d\theta ,\quad k^{2}=\frac{b^{2}-a^{2} }{b^{2}} $$

제2 종 타원 적분

이때 위의 적분을 특별히 제2 종 타원 적분, 혹은 완전 제2 종 타원적분이라 부르고 아래와 같이 표기한다.

$$ E(k) = \int_{0}^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}}\sqrt{ 1-k^{2}\sin^{2} \theta } d\theta $$

계산

위의 타원 적분은 초등함수로 나타낼 수 없고 수치적인 계산으로만 구할 수 있다. $k$의 값에 따른 적분값을 구하면 아래와 같다.

$b=1.1547$이고 $a=1$이면 $k=0.5$이다. $E(0.5)=1.351$이므로 타원 $ x^{2}+\frac{ y^{2}}{1.1547^{2}}=1$의 둘레는 다음과 같다.

$$ 4bE(k)=4\times 1.1547 \times 1.351=6.239 $$