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제2 종 타원 적분 📂수리물리

제2 종 타원 적분

정의

아래의 적분을 제2 종 완전 타원 적분complete elliptic integral of the second kind이라고 한다.

E(k)=∫0π21−k2sin⁡2θdθ E(k)=\int_{0}^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta} d\theta

아래의 적분을 제2 종 불완전 타원적분incomplete elliptic integral of the second kind이라고 한다.

E(ϕ,k)=∫0ϕ1−k2sin⁡2θdθ E(\phi, k)=\int_{0}^{\phi}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta}d\theta

설명

위 두 적분의 이름이 타원 적분인 것은 타원의 둘레를 구하는 과정에서 나왔기 때문이다. 타원

x2a2+y2b2=1,(0<a<b) \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\quad (0<a<b)

가 주어지면 타원의 둘레는

4bE(k),k2=b2−a2b2 4bE(k),\quad k^{2}=\frac{b^{2}-a^{2} }{b^{2}}

와 같이 구할 수 있다. kk 값에 따른 제2 종 완전 타원 적분의 그래프는 아래와 같다.

untitled.png

타원의 방정식에서 a=ba=b라면 원이 되는데 E(0)=1.571E(0)=1.571이므로 둘레는

4b×1.571=2πb 4b\times 1.571=2\pi b

가 되어서 기존의 원둘레 공식이 나오게 된다. 한편 불완전 타원 적분은 특정 각도까지의 타원호의 길이를 나타낸다. 다만 각도 θ\theta는 일반적인 극좌표에서의 각도와 다르며 아래 그림과 같다.2.png