극 좌표계에서 초점이 원점인 타원의 방정식
📂수리물리 극 좌표계에서 초점이 원점인 타원의 방정식 정리
극 좌표계에서 타원의 방정식은 아래와 같다.
r = α 1 + ϵ cos θ (a)
r=\frac{\alpha}{1+\epsilon \cos \theta}\tag{a}
r = 1 + ϵ cos θ α ( a )
혹은
r = b 2 / a 1 + a 2 − b 2 a cos θ (b)
r=\frac{b^{2}/a}{1+\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\cos\theta} \tag{b}
r = 1 + a a 2 − b 2 cos θ b 2 / a ( b )
이때 α \alpha α ϵ \epsilon ϵ a a a b b b
설명 아래의 두 증명은 본질적으로는 같다.
증명 고등학교 수준
타원 의 정의는 두 초점까지의 거리의 합이 일정한 점들의 집합이다. 그림에서 가장 오른쪽에 있는 점을 생각해보면 그 거리의 합이 2 a 2a 2 a F ′ P ‾ + P F ‾ = 2 a
\begin{align*}
\overline{F^{\prime}P} +\overline{PF} =2a
\end{align*}
F ′ P + PF = 2 a P P P B B B b 2 = a 2 − c 2 b^{2}=a^{2}-c^{2} b 2 = a 2 − c 2 F ′ F ‾ = 2 c = 2 a 2 − b 2
\overline{F^{\prime}F}=2c=2\sqrt{a^{2}-b^{2}}
F ′ F = 2 c = 2 a 2 − b 2 △ F ′ P H \triangle F^{\prime}PH △ F ′ P H ( 2 a − r ) 2 = ( 2 a 2 − b 2 + r cos θ ) 2 + ( r sin θ ) 2 ⟹ 4 a 2 − 4 a r + r 2 = 4 ( a 2 − b 2 ) + 4 r a 2 − b 2 cos θ + r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ ⟹ 4 a 2 − 4 a r = 4 ( a 2 − b 2 ) + 4 r a 2 − b 2 cos θ ⟹ ( a + a 2 − b 2 cos θ ) r = b 2 ⟹ r = b 2 a + a 2 − b 2 cos θ = b 2 / a 1 + a 2 − b 2 a cos θ
\begin{align*}
&&(2a-r)^{2} &= (2 \sqrt{a^{2}- b^{2}}+r \cos \theta)^{2}+(r\sin \theta)^{2}
\\ \implies && 4a^{2}-4ar+r^{2} &= 4(a^{2}-b^{2}) + 4r\sqrt{a^{2}-b^{2}}\cos\theta +r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta
\\ \implies && 4a^{2} -4ar \ &= 4(a^{2} - b^{2}) +4r\sqrt{a^{2}-b^{2}}\cos \theta
\\ \implies && (a+\sqrt{a^{2} - b^{2}}\cos\theta)r &= b^{2}
\\
\\ \implies && r&=\frac{b^{2}}{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}\cos\theta}
\\ && &=\frac{b^{2}/a}{1+\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\cos\theta}
\end{align*}
⟹ ⟹ ⟹ ⟹ ( 2 a − r ) 2 4 a 2 − 4 a r + r 2 4 a 2 − 4 a r ( a + a 2 − b 2 cos θ ) r r = ( 2 a 2 − b 2 + r cos θ ) 2 + ( r sin θ ) 2 = 4 ( a 2 − b 2 ) + 4 r a 2 − b 2 cos θ + r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = 4 ( a 2 − b 2 ) + 4 r a 2 − b 2 cos θ = b 2 = a + a 2 − b 2 cos θ b 2 = 1 + a a 2 − b 2 cos θ b 2 / a
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대학교 수준 증명의 출발은 같다. 타원의 정의에 의해서,
r ′ + r = 2 a (1)
r^{\prime}+r=2a \tag{1}
r ′ + r = 2 a ( 1 )
이제 아래의 그림을 보자.
위 삼각형에 피타고라스 정리를 쓰면
r ′ 2 = ( r sin θ ) 2 + ( 2 ϵ a + r cos θ ) 2 = r 2 sin 2 θ + 4 ϵ 2 a 2 + 4 ϵ a r cos θ + r 2 cos 2 θ = r 2 + 4 ϵ 2 a 2 + 4 ϵ a r cos θ
\begin{align*}
{r^{\prime}}^{2}
&= (r\sin \theta)^{2} + (2\epsilon a +r\cos \theta) ^{2} \\
&= r^{2}\sin ^{2} \theta +4\epsilon^{2}a^{2}+4\epsilon ar \cos \theta+ r^{2} \cos^{2} \theta \\
&= r^{2} + 4\epsilon^{2}a^{2} + 4\epsilon a r \cos \theta
\end{align*}
r ′ 2 = ( r sin θ ) 2 + ( 2 ϵ a + r cos θ ) 2 = r 2 sin 2 θ + 4 ϵ 2 a 2 + 4 ϵ a r cos θ + r 2 cos 2 θ = r 2 + 4 ϵ 2 a 2 + 4 ϵ a r cos θ
위 식의 좌변에 ( 1 ) (1) ( 1 )
4 a 2 − 4 a r + r 2 = r 2 + 4 ϵ 2 a 2 + 4 ϵ a r cos θ ⟹ 4 a 2 − 4 a r = 4 ϵ 2 a 2 + 4 ϵ a r cos θ ⟹ 4 a 2 ( 1 − ϵ 2 ) = 4 a ( 1 + ϵ cos θ ) r ⟹ r = a ( 1 − ϵ 2 ) 1 + ϵ cos θ
\begin{align*}
&& 4a^{2} -4ar+r^{2} &=r^{2} + 4\epsilon^{2}a^{2} + 4\epsilon a r \cos \theta \\
\implies && 4a^{2} -4ar &= 4\epsilon^{2}a^{2} + 4\epsilon a r \cos \theta \\
\implies && 4a^{2}(1-\epsilon^{2}) &= 4a(1+ \epsilon \cos \theta)r \\
\implies && r &= \frac{a(1-\epsilon ^{2})}{1+\epsilon \cos \theta }
\end{align*}
⟹ ⟹ ⟹ 4 a 2 − 4 a r + r 2 4 a 2 − 4 a r 4 a 2 ( 1 − ϵ 2 ) r = r 2 + 4 ϵ 2 a 2 + 4 ϵ a r cos θ = 4 ϵ 2 a 2 + 4 ϵ a r cos θ = 4 a ( 1 + ϵ cos θ ) r = 1 + ϵ cos θ a ( 1 − ϵ 2 )
이 때 θ = π 2 \theta={\textstyle \frac{\pi}{2}} θ = 2 π α \alpha α
r = a ( 1 − ϵ 2 ) = α
r=a(1-\epsilon^{2})=\alpha
r = a ( 1 − ϵ 2 ) = α
따라서 타원의 방정식을 극좌표로 나타내면
r = α 1 + ϵ cos θ
r= \frac{\alpha}{1+\epsilon \cos \theta}
r = 1 + ϵ cos θ α
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