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케플러 제2 법칙 면적 속도 일정의 법칙

케플러 제2 법칙: 면적 속도 일정의 법칙¹

태양과 행성을 연결하는 선분은 같은 시간동안 같은 면적을 지나간다.

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면적 속도 일정의 법칙은 케플러의 행성 운동 법칙 중 두번째 법칙이다. 다만 이는 태양과 행성간에서만 일어나는 특별한 법칙이 아니라 중심력에 의해 운동하는 어떤 물체(입자)에 대해서도 성립하는 일반적인 법칙이다.

증명

중심력장에에서 움직이는 입자의 각운동량과 면적 속도

회전운동이므로 극좌표계로 입자의 운동을 설명하는 것이 편하다. 극 좌표계에서 속도는 아래와 같다.

$$ \mathbf{v}=\dot{r}\hat{\mathbf{r}}+r\dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} $$

그러면 입자의 각운동량의 크기는 아래와 같다.

$$ | \mathbf{L}| = |\mathbf{r} \times m\mathbf{v}|=|r \hat{\mathbf{r}} \times m(\dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}})| $$

이때 $|\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{r}}|=0$,$|\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\boldsymbol{\theta}}|=1$이고 중심력에 의해 운동하는 입자의 각운동량은 보존되므로 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{equation} L=| \mathbf{L}|=mr^{2}\dot{\theta}=\text{constant} \label{eq1} \end{equation} $$

$\left| \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{r}} \right|=0$이기 때문에 모든 지름 방향으로의 운동은 각운동량에 영향을 주지 못한다. 이는 태양의 중력에 의해 공전하는 행성들을 포함하여 중심력으로 움직이는 어떠한 입자에 대해서도 일반적으로 성립하는 결과이다. 이제 면적 속도를 계산하기 위해서 아래의 그림을 보자.

중심력에 의해 $dt$ 시간동안 $d \mathbf{r}$ 만큼 움직이는 입자의 위치벡터 $\mathbf{r}$에 의해 만들어지는 삼각형은 위 그림에서 나타나는 바와 같다. 따라서 삼각형의 면적을 구하면 아래와 같다.

$$ \begin{align} dA &= {\textstyle \frac{1}{2}} \left| \mathbf{r} \times d \mathbf{r} \right| \nonumber \\ &= {\textstyle \frac{1}{2}} \left| r \hat{\mathbf{r}} \times(dr \hat{\mathbf{r}} + rd\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}) \right| \nonumber \\ &= {\textstyle \frac{1}{2}}r^{2}d\theta \label{eq2} \end{align} $$ 이때 $\left| \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{r}} \right|=0$이기 때문에 모든 지름 방향으로의 운동은 면적 $dA$에 영향을 주지 못한다. 이제 $\eqref{eq1}$과 $\eqref{eq2}$로부터 ‘면적 속도’를 구하면 아래와 같다.

$$ \begin{align*} \frac{ d A}{ d t } &= {\textstyle \frac{1}{2}} r^{2 \frac{ d \theta}{ d t }} \\ &= {\textstyle \frac{1}{2}}r^{2}\dot{\theta} \\ &= \frac{L}{2m} \\ &= \text{constant} \end{align*} $$

따라서 면적 속도는 각운동량에 비례하고, 물체(입자)는 같은 시간동안 같은 면적만큼 운동한다.

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