📂고전역학

입자계의 각운동량

공식

입자계의 토크는 각 입자의 토크의 합과 같다.

$$ \mathbf{N}=\frac{ d \mathbf{L}}{ d t }=\sum \limits _{i=1} ^{n} \mathbf{r}_{i}\times \mathbf{F}_{i} $$

유도¹

입자계의 선운동량을 각 입자의 선운동량의 합으로 정의했다. 이와 마찬가지로 입자계의 각운동량은 각 입자의 각운동량의 합으로 정의된다.

$$ \mathbf{L}=\sum \limits _{i=1} ^{n} (\mathbf{r}_{i}\times \mathbf{p}_{i}) $$

토크는 각운동량의 변화율이므로 입자계의 토크는 아래와 같다.

$$ \begin{align*} \mathbf{N} &= \frac{d \mathbf{L}}{dt} \\ &= \sum \limits _{i=1} ^{n}(\mathbf{v}_{i}\times \mathbf{p}_{i}) + \sum \limits _{i=1} ^{n}(\mathbf{r}_{i}\times m_{i}\mathbf{a}_{i}) \end{align*} $$

이때 $\mathbf{p}_{i}=m_{i}\mathbf{v}_{i}$이므로 우변의 첫번째 항의 외적은 $\mathbf{0}$이다. 또한 $m\mathbf{a}_{i}$는 입자 $i$에 작용하는 모든 힘이므로 위 식은 아래와 같다.

$$ \begin{align} \mathbf{N} &= \sum \limits _{i=1} ^{n} \left[ \mathbf{r}_{i} \times \left( \mathbf{F}_{i}+\sum \limits _{j=1} ^{n} \mathbf{F}_{ij}\right) \right] \nonumber \\ &= \sum \limits _{i=1} ^{n} \mathbf{r}_{i}\times \mathbf{F}_{i}+ \sum \limits _{i=1} ^{n}\sum \limits _{j=1} ^{n}\mathbf{r}_{i}\times \mathbf{F}_{ij} \label{eq1} \end{align} $$

이때 두번째항을 정리하면 $\mathbf{0}$이 됨을 확인할 수 있다. 두 합기호를 풀어 적었을 때 각 항들을 아래와 같이 짝지을 수 있다.

$$ \begin{equation} (\mathbf{r}_{i}\times \mathbf{F}_{ij})+(\mathbf{r}_{j}\times \mathbf{F}_{ji}) \label{eq2} \end{equation} $$

이때 $\mathbf{r}_{ij}=\mathbf{r}_{j}-\mathbf{r}_{i}$라고 하자. 그리고 $\mathbf{F}_{ij}$와 $\mathbf{F}_{ji}$는 서로 작용-반작용 관계이므로 $\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}$이다. 따라서 $(2)$는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} (\mathbf{r}_{i}\times \mathbf{F}_{ij})+(\mathbf{r}_{j}\times \mathbf{F}_{ji}) &= (\mathbf{r}_{i}\times \mathbf{F}_{ij})-(\mathbf{r}_{j}\times \mathbf{F}_{ij}) \\ &= -\mathbf{r}_{ij}\times \mathbf{F}_{ij} \end{align*} $$

이때 $\mathbf{r}_{ij}$와 $\mathbf{F}_{ij}$는 모두 같은 선상에 놓인 벡터이므로 외적하면 $\mathbf{0}$이다. 따라서 $(1)$의 두번째 항은 모두 $\mathbf{0}$이므로 아래의 식을 얻는다.

$$ \mathbf{N}=\frac{ d \mathbf{L}}{ d t }=\sum \limits _{i=1} ^{n} \mathbf{r}_{i}\times \mathbf{F}_{i} $$

그러므로 입자계의 토크는 각 입자의 토크의 합과 같다는 것을 알 수 있다.

질량중심에 대한 각운동량

각운동량을 질량 중심에 관하여 표현할 수도 있다. 각 위치벡터를 위 그림과 같이 질량중심으로 표현했다고 하자.

$$ \begin{equation} \mathbf{r}_{i} = \mathbf{r}_{cm} + \overline{\mathbf{r}}_{i} \end{equation} $$

이를 시간에 대해서 미분하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{v}_{i}=\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i} $$

$\mathbf{v}_{cm}$은 질량중심의 속도이고, $\mathbf{v}^{\prime}_{i}$는 각 입자의 질량중심에 대한 상대속도이다. 그러면 입자계의 각 운동량은 아래와 같이 계산된다.

$$ \begin{align*} \mathbf{L} &= \sum \limits _{i=1} ^{n}(\mathbf{r}_{cm}+\overline{\mathbf{r}}_{i})\times m_{i}(\mathbf{v}_{cm}+\overline{\mathbf{v}}_{i}) \\ &= \sum \limits _{i=1} ^{n}(\mathbf{r}_{cm}\times m_{i}\mathbf{v}_{cm}) + \sum \limits _{i=1} ^{n}(\mathbf{r}_{cm} \times m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}) \\ &\quad +\sum \limits _{i=1} ^{n}(\overline{\mathbf{r}}_{i}\times m_{i}\mathbf{v}_{cm}) + \sum \limits _{i=1} ^{n}(\overline{\mathbf{r}}_{i}\times m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}) \\ &= \mathbf{r}_{cm}\times \left(\sum \limits _{i=1} ^{n} m_{i }\right)\mathbf{v}_{cm} +\mathbf{r}_{cm} \times \sum \limits _{i=1} ^{n} m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i} \\ &\quad +\left(\sum \limits _{i=1} ^{n}m_{i}\overline{\mathbf{r}}_{i} \right)\times\mathbf{v}_{cm} + \sum \limits _{i=1} ^{n}(\overline{\mathbf{r}}_{i}\times m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}) \end{align*} $$

여기서 세번째 항은 $(3)$과 질량 중심의 정의에 의해서 $\mathbf{0}$이 됨을 아래와 같은 계산으로 확인할 수 있다.

$$ \begin{align*} \sum \limits _{i=1} ^{n} m_{i}\overline{\mathbf{r}}_{i} &= \sum \limits _{i=1} ^{n} m_{i}(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{cm}) \\ &= \sum \limits _{i=1} ^{n} m_{i}\mathbf{r}_{i}-m\mathbf{r}_{cm} \\ &= \mathbf{0} \end{align*} $$

$m$은 입자계의 총 질량이다. 또한 위 식을 시간에 대해서 미분하면 아래의 식을 얻는다.

$$ \sum \limits _{i=1} ^{n} m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i}=\sum \limits_{i=1}^{n}m_{i}\mathbf{v}_{i}-m\mathbf{v}_{cm}= \mathbf{0} $$

따라서 $\mathbf{L}$의 두번째 항도 $\mathbf{0}$이다. 이제 최종적으로 $\mathbf{L}$은 아래와 같다.

$$ \mathbf{L}=\mathbf{r}_{cm}\times m \mathbf{v}_{cm} + \sum \limits _{i=1} ^{n} \overline{\mathbf{r}}_{i}\times m_{i}\overline{\mathbf{v}}_{i} $$

여기서 첫항은 질량 중심의 각운동량이라 할 수 있고, 두번째항은 각 입자의 질량 중심에 대한 각운동량의 총합이라고 볼 수 있다. 이와 같이 각운동량을 질량 중심에 관한 항과 질량 중심을 기준으로 했을 때의 상대적인 항으로 나누어 이해하는 것은 물리학의 많은 부분에서 도움이 된다.