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t-분포의 평균과 분산 📂확률분포론

t-분포의 평균과 분산

공식

X∼t(ν)X \sim t (\nu) 이면 E(X)=0,ν>1Var⁡(X)=νν−2,ν>2 E(X) = 0 \qquad , \nu >1 \\ \Var(X) = {{ \nu } \over { \nu - 2 }} \qquad , \nu > 2

유도

전략: t-분포 역시 카이제곱분포와 비슷하게 적률 공식이 알려져 있어, 이 공식들을 이용한다.

t-분포의 적률: 두 확률 변수 W,VW,V 가 독립이고 W∼N(0,1)W \sim N(0,1), V∼χ2(r)V \sim \chi^{2} (r) 이라 하자. k<rk < r 이면 T:=WV/r\displaystyle T := { {W} \over {\sqrt{V/r} } } 는 kk차 적률이 존재하고 ETk=EWk2−k/2Γ(r2−k2)Γ(r2)r−k/2 E T^{k} = E W^{k} {{ 2^{-k/2} \Gamma \left( {{ r } \over { 2 }} - {{ k } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma \left( {{ r } \over { 2 }} \right) r^{-k/2} }}

  • N(μ,σ2)N \left( \mu , \sigma^{2} \right) 는 평균이 μ\mu 고 분산이 σ2\sigma^{2} 인 정규 분포다.
  • χ2(r)\chi^{2} \left( r \right) 은 자유도 rr 인 카이제곱 분포다.
  • Γ\Gamma 는 감마 함수다.

평균

r=νr = \nu 라고 하면 1=k<r=ν1 = k < r = \nu 이므로 ET1ET^{1} 이 존재하고, WW 가 표준정규분포 N(0,1)N(0,1) 을 따르므로 EW1=0EW^{1} = 0 이다. 따라서 ET1=0ET^{1} = 0 이다.

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분산

k=2k=2 면 WW 가 표준정규분포를 따르므로 EW2=1+02EW^{2} = 1 + 0^{2} 이므로 ET2=EW22−2/2Γ(ν2−22)Γ(ν2)ν−2/2=1ν2Γ(ν−12)Γ(ν2)=ν21ν2−1=νν−2 \begin{align*} ET^{2} =& EW^{2} {{ 2^{-2/2} \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} - {{ 2 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) \nu^{-2/2} }} \\ =& 1 {{ \nu } \over { 2 }} {{ \Gamma \left( {{ \nu - 1 } \over { 2 }} \right) } \over { \Gamma \left( {{ \nu } \over { 2 }} \right) }} \\ =& {{ \nu } \over { 2 }} {{ 1 } \over { {{ \nu } \over { 2 }} - 1 }} \\ =& {{ \nu } \over { \nu - 2 }} \end{align*}

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