정규 분포의 평균과 분산
📂확률분포론정규 분포의 평균과 분산
공식
X∼N(μ,σ2) 면
E(X)=μVar(X)=σ2
유도
전략: 정규 분포는 적률생성함수가 미분하기 쉬우니 그냥 바로 직접연역한다.
정규 분포의 적률생성함수:
m(t)=exp(μt+2σ2t2),t∈R
m′(t)=(μ+σ2t)exp(μt+2σ2t2)
이므로 E(X)=m′(0)=μ 이고
m′′(t)=(0+σ2)exp(μt+2σ2t2)+(μ+σ2t)2exp(μt+2σ2t2)
이므로 E(X2)=m′′(0)=σ2+μ2 이다. 따라서 Var(X)=σ2 이다.
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