📂상미분방정식

지수성장방정식/상수 계수를 갖는 1계 선형 동차 미분 방정식

정의

아래와 같은 1계 상미분 방정식에서 독립변수 $t$가 $f$에 명시적으로 포함되어있지 않으면 자율 시스템^{autonomous system} 혹은 자율 미분 방정식^{autonomous differential equation}이라 한다.

$$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = f(y)$$

반대로 아래와 같은 꼴을 비자율 시스템이라 한다.

$$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = f(y, t)$$

설명

자율 시스템이라는 단어는 좀 더 동역학적인 센스가 묻어있고, 자율미분방정식이라는 단어는 좀 더 상미분방정식 그 자체에 집중한다는 느낌이 있다.

$y = y(t)$이므로 $f$에 $t$의 정보가 포함되는 것은 맞지만, 이것이 $y = y(t)$의 값으로만 영향을 미칠 때 자율 시스템이라 한다. $t$에 의존하지 않고 $y$ 스스로(자율적으로) 계를 이끌어나간다고 이해하면 좋을 듯 하다.

자율 시스템 중에서 가장 기초가 되면서도 중요한 방정식은 아래의 인구 모델이다. 지수 성장 방정식^{exponential growth equation}이라고도 불리리는데, 해가 지수함수이고 인구가 성장하는 현상을 모델링하는데 사용되기 때문이다. 한 번 미분했을 때 자기 자신과 같은 함수가 무엇인지 생각해보면 왜 지수 함수가 답인지 알 수 있을 것이다.

방정식

$$\dfrac{dy}{dx} = \alpha y \tag{1}$$

위와 같이 상수 계수를 갖는 1계 선형 동차 미분 방정식의 일반해는 다음과 같다.

$$y=Ae^{\alpha x}$$

이때 $A$는 상수이다.

풀이

$(1)$을 변수분리하면 다음과 같다.

$$\dfrac{dy}{dx} = \alpha y \implies \dfrac{1}{y} dy = \alpha dx$$

양 변을 적분하면, 로그함수의 미분법에 의해 아래와 같다.

$$\ln y = a x + C$$

이때 $C$는 적분 상수이다. 마지막으로 양변에 지수함수를 취하면,

$$y=e^{\alpha x + C}=e^{\alpha x} e^{C}=Ae^{\alpha x}$$

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