에르미트 다항식의 직교성
📂함수에르미트 다항식의 직교성
정리
에르미트 다항식 {Hn}n=0∞은 구간 (−∞,∞)에서 가중 함수 w(x)=e−x2에 대해서 직교한다.
⟨Hn∣Hm⟩e−x2=∫−∞∞e−x2Hn(x)Hm(x)dx=π2nn!δnm
이때 δnm은 크로네커 델타이다.
증명
경우 1: n=m
미분 연산자를 D=dxd라고 표기하자.
∫−∞∞e−x2Hn(x)Hn(x)dx
에르미트 다항식
Hn(x)=(−1)nex2dxndne−x2=(−1)nex2Dne−x2
위 식에서 앞의 Hn(x)만 풀어서 써보면 다음과 같다.
∫−∞∞e−x2(−1)nex2[Dne−x2]Hn(x)dx=∫−∞∞(−1)n[Dne−x2]Hn(x)dx
위 식을 부분적으로 풀어보면 아래의 식을 얻는다.
∫−∞∞(−1)n[Dne−x2]Hn(x)dx=[(−1)n(Dn−1e−x2)Hn(x)]−∞∞−∫−∞∞(−1)n[Dn−1e−x2]Hn′(x)dx(1)
이때 첫번째 항은 x→±∞limDn−1e−x2=0이므로 0이다. 이 극한이 0으로 수렴하는 이유는 임의의 n에 대해서
Dne−x2=p(x)e−x2
로 나타나기 때문이다. 여기에서 p(x)는 임의의 다항식이다. x→±∞일 때 다항식이 발산하는 속도보다 e−x2가 0으로 가는 속도가 훨씬 빠르므로 극한이 0으로 수렴한다.
에르미트 다항식의 재귀 관계
Hn′(x)=2nHn−1(x)
또한 에르미트 다항식의 재귀관계에 의해서 (1)은 다음과 같다.
−2n∫−∞∞(−1)n[Dn−1e−x2]Hn−1(x)dx
방금과 같은 논리로 부분적분을 한 번 더 하면 다음을 얻는다.
(−1)222n(n−1)∫−∞∞(−1)n[Dn−2e−x2]Hn−2(x)dx
따라서 부분적분을 n번 하면 아래의 식을 얻는다.
(−1)n2nn!∫−∞∞(−1)ne−x2H0(x)dx
H0(x)=1이므로 아래와 같이 정리된다.
2nn!∫−∞∞e−x2dx
위 적분은 가우스 적분으로 그 값은 π이다. 그러므로 다음을 얻는다.
∫−∞∞e−x2Hn(x)Hn(x)dx=π2nn!
경우 2: n=m
일반성을 잃지 않고 n>m이라고 하자.
∫−∞∞e−x2Hn(x)Hm(x)dx
여기서 Hn(x)만 풀어서 적으면 다음과 같다.
∫−∞∞e−x2(−1)nex2[Dne−x2]Hm(x)dx=∫−∞∞(−1)n[Dne−x2]Hm(x)dx
앞의 n=m인 경우에 대한 증명에서와 같은 방법으로 m번 부분적분하면 아래의 식을 얻는다.
(−1)n+m2mm!∫−∞∞[Dn−me−x2]⋅1dx
여기서 한 번 더 부분적분하면 다음과 같다.
(−1)n+m2mm!∫−∞∞[Dn−me−x2]⋅1dx=(−1)n+m2mm!([Dn−m−1e−x2]−∞∞+2(m+1)∫−∞∞[Dn−m−1e−x2]⋅0dx)
첫번째 항은 위의 증명에서 설명했듯이 0이고 두번째 항도 0이다. 그러므로 다음을 얻는다.
∫−∞∞e−x2Hn(x)Hm(x)dx=0,n=m
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