logo

에르미트 다항식의 직교성 📂함수

에르미트 다항식의 직교성

정리

에르미트 다항식 {Hn}n=0\left\{ H_{n} \right\}_{n=0}^{\infty}은 구간 (,)(-\infty, \infty)에서 가중 함수 w(x)=ex2w(x)=e^{-x^{2}}에 대해서 직교한다.

HnHmex2=ex2Hn(x)Hm(x)dx=π2nn!δnm \braket{ H_{n} | H_{m} }_{e^{-x^{2}}} =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{m}(x)dx=\sqrt{\pi}2^{n}n!\delta_{nm}

이때 δnm\delta_{nm}크로네커 델타이다.

증명

경우 1: n=mn=m

미분 연산자D=ddxD = \dfrac{d}{dx}라고 표기하자.

ex2Hn(x)Hn(x)dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{n}(x)dx

에르미트 다항식

Hn(x)=(1)nex2dndxnex2=(1)nex2Dnex2 H_{n}(x) = (-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}} = (-1)^{n}e^{x^{2}}D^{n}e^{-x^{2}}

위 식에서 앞의 Hn(x)H_{n}(x)만 풀어서 써보면 다음과 같다.

ex2(1)nex2[Dnex2]Hn(x)dx=(1)n[Dnex2]Hn(x)dx \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}(-1)^{n}e^{x^{2}}\left[D^{n}e^{-x^{2}} \right]H_{n}(x)dx &= \int_{-\infty}^{\infty} (-1)^{n}\left[D^{n}e^{-x^{2}} \right]H_{n}(x)dx \end{align*}

위 식을 부분적으로 풀어보면 아래의 식을 얻는다.

(1)n[Dnex2]Hn(x)dx=[(1)n(Dn1ex2)Hn(x)](1)n[Dn1ex2]Hn(x)dx \begin{align*} &\int_{-\infty}^{\infty} (-1)^{n}\left[D^{n}e^{-x^{2}} \right]H_{n}(x)dx \\ &=\left[ (-1)^{n}\left(D^{n-1}e^{-x^{2}}\right)H_{n}(x) \right]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}(-1)^{n}\left[ D^{n-1}e^{-x^{2}}\right]H^{\prime}_{n}(x)dx \tag{1} \end{align*}

이때 첫번째 항은 limx±Dn1ex2=0\lim \limits_{x\rightarrow \pm\infty}D^{n-1}e^{-x^{2}}=0이므로 00이다. 이 극한이 00으로 수렴하는 이유는 임의의 nn에 대해서

Dnex2=p(x)ex2 D^{n}e^{-x^{2}}=p(x)e^{-x^{2}} 로 나타나기 때문이다. 여기에서 p(x)p(x)는 임의의 다항식이다. x±x \rightarrow \pm \infty일 때 다항식이 발산하는 속도보다 ex2e^{-x^{2}}00으로 가는 속도가 훨씬 빠르므로 극한이 00으로 수렴한다.

에르미트 다항식의 재귀 관계 Hn(x)=2nHn1(x) H_{n}^{\prime}(x) =2nH_{n-1}(x)

또한 에르미트 다항식의 재귀관계에 의해서 (1)(1)은 다음과 같다.

2n(1)n[Dn1ex2]Hn1(x)dx -2n\int_{-\infty}^{\infty}(-1)^{n}\left[ D^{n-1}e^{-x^{2}} \right]H_{n-1}(x)dx

방금과 같은 논리로 부분적분을 한 번 더 하면 다음을 얻는다.

(1)222n(n1)(1)n[Dn2ex2]Hn2(x)dx (-1)^{2}2^{2}n(n-1)\int_{-\infty}^{\infty}(-1)^{n}\left[ D^{n-2}e^{-x^{2}} \right]H_{n-2}(x)dx

따라서 부분적분을 nn번 하면 아래의 식을 얻는다.

(1)n2nn!(1)nex2H0(x)dx (-1)^{n}2^{n}n!\int_{-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{-x^{2}}H_{0}(x)dx

H0(x)=1H_{0}(x)=1이므로 아래와 같이 정리된다.

2nn!ex2dx 2^{n}n!\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx

위 적분은 가우스 적분으로 그 값은 π\sqrt{\pi}이다. 그러므로 다음을 얻는다.

ex2Hn(x)Hn(x)dx=π2nn! \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{n}(x)dx=\sqrt{\pi}2^{n}n!

경우 2: nmn\ne m

일반성을 잃지 않고 n>mn \gt m이라고 하자.

ex2Hn(x)Hm(x)dx \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{m}(x)dx

여기서 Hn(x)H_{n}(x)만 풀어서 적으면 다음과 같다.

ex2(1)nex2[Dnex2]Hm(x)dx=(1)n[Dnex2]Hm(x)dx \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}(-1)^{n}e^{x^{2}}\left[D^{n}e^{-x^{2}}\right]H_{m}(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}(-1)^{n}\left[D^{n}e^{-x^{2}}\right]H_{m}(x)dx

앞의 n=mn=m인 경우에 대한 증명에서와 같은 방법으로 mm번 부분적분하면 아래의 식을 얻는다.

(1)n+m2mm![Dnmex2]1dx (-1)^{n+m}2^{m}m!\int_{-\infty}^{\infty}\left[ D^{n-m}e^{-x^{2}} \right]\cdot 1 dx

여기서 한 번 더 부분적분하면 다음과 같다.

(1)n+m2mm![Dnmex2]1dx=(1)n+m2mm!([Dnm1ex2]+2(m+1)[Dnm1ex2]0dx) \begin{align*} &(-1)^{n+m}2^{m}m!\int_{-\infty}^{\infty}\left[ D^{n-m}e^{-x^{2}} \right]\cdot 1 dx \\ &= (-1)^{n+m}2^{m}m!\left(\left[D^{n-m-1}e^{-x^{2}} \right]_{-\infty}^{\infty}+2(m+1)\int_{-\infty}^{\infty}\left[ D^{n-m-1}e^{-x^{2}}\right]\cdot 0 dx \right) \end{align*}

첫번째 항은 위의 증명에서 설명했듯이 00이고 두번째 항도 00이다. 그러므로 다음을 얻는다.

ex2Hn(x)Hm(x)dx=0,nm \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{m}(x)dx=0, \quad n \ne m