야코비 세타 함수
정의
다음과 같이 정의된 함수 $\vartheta$ 를 야코비 세타 함수jacobi theta function라고 한다. $$ \vartheta (\tau) := \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-\pi n^{2} \tau } $$
설명
야코비 함수는 원래 더 일반적으로 정의될 수 있지만, 보통은 필요한 곳에 따라 그냥 특수한 형태를 쓰는 일이 잦다. 여기서 소개된 야코비 세타 함수 역시 정확한 의미에서 모든 맥락을 커버하지는 못한다는 것에 주의하자.
다음의 성질은 특히 리만 제타 함수의 연구에서 핵심적으로 쓰이는 방정식의 유도에 쓰인다.
정리
$$ \vartheta ( \tau ) = \sqrt{ {{ 1 } \over { \tau }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) $$
증명
$$ f(n) := e^{-\pi n^{2} \tau} $$ 와 같이 $f$ 를 정의하면 $$ \begin{align*} \vartheta ( \tau ) =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{ - \pi n^{2} x } \\ =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} f (n) \end{align*} $$
푸아송 합 공식: $$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(k) $$
푸아송 합 공식에 따라 $$ \begin{align*} \vartheta ( \tau ) =& \sum_{n \in \mathbb{Z}} f (n) \\ =& \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{f}(k) \\ =& \sum_{k \in \mathbb{Z}} \mathcal{F} \left[ e^{- \pi \tau n^{2}} \right] (k) \end{align*} $$
가우스 함수의 푸리에 변환: $$ \left( \mathcal{F} f \right) (\gamma) = \mathcal{F} \left[ e^{-A x^{2}} \right] (\gamma) = \sqrt{{ \pi } \over { A }} e^{ - {{ \pi^{2} \gamma^{2} } \over { A }}} $$
$x = n$ 이고 $A = \pi \tau$ 인 가우스 함수 $e^{ -\pi \tau n^{2}}$ 의 푸리에 변환에 따라 $\gamma = k$ 에서 $$ \begin{align*} \vartheta (\tau) =& \sum_{k \in \mathbb{Z}} \mathcal{F} \left[ e^{- \pi \tau n^{2}} \right] (k) \\ =& \sum_{k \in \mathbb{Z}} \sqrt{{ \pi } \over { \pi \tau }} e^{ - {{ \pi^{2} k^{2} } \over { \pi \tau }}} \\ =& \sqrt{{{ 1 } \over { \tau }}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} e^{-\pi k^{2} {{ 1 } \over { \tau }}} \\ =& \sqrt{{{ 1 } \over { \tau }}} \vartheta \left( {{ 1 } \over { \tau }} \right) \end{align*} $$
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