📂양자역학

각운동량과 위치/운동량의 교환관계

공식

각운동량과 위치의 교환자는 다음과 같다.

$$\begin{align*} [L_{z}, x] &= \i \hbar y \\ [L_{z}, y] &= -\i \hbar x \\ [L_{z}, z] &= 0 \end{align*}$$

각운동량과 운동량의 교환자는 다음과 같다.

$$\begin{align*} [L_{z}, p_{x}] &= \i \hbar p_{y} \\ [L_{z}, p_{y}] &= -\i \hbar p_{x} \\ [L_{z}, p_{z}] &= 0 \end{align*}$$

각운동량과 위치의 제곱, 운동량의 제곱은 교환 가능하다. 즉 아래의 식을 만족한다.

$$\begin{align*} [L_{z}, r^{2}] &= 0 \\ [L_{z}, p^{2}] &= 0 \end{align*}$$

여기서 $r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 그리고 $p^{2} = p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}$이다. 추가적으로 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} [L_{z}, x^{2}] &= 2\i\hbar xy \\ [L_{z}, y^{2}] &= -2\i\hbar xy \\ [L_{z}, p_{x}^{2}] &= 2\i\hbar p_{x}p_{y} \\ [L_{z}, p_{y}^{2}] &= -2\i\hbar p_{x}p_{y} \\ \end{align*}$$

설명

위 공식으로부터 각운동량은 같은 좌표의 위치, 운동량과 교환가능하다는 것을 알 수 있다.

증명

다음의 공식들이 유용하게 쓰인다.

위치와 운동량의 교환자

$$[x, p_{x}] = \i \hbar$$

교환자의 성질

$$\begin{align*} [ A + B, C ] &= [ A, C ] + [ B, C ] \\[0.5em] [AB, C] &= A[ B, C ] + [ A, C] B \\[0.5em] [A, BC] &= B[ A, C ] + [ A, B] C \end{align*}$$

$[L_{z}, x]$

우선 교환자 $[L_{z}, x]$를 전개해보면,

$$\begin{align*} [L_{z}, x] &= [xp_{y}-yp_{x}, x] \\ &= (xp_{y}x - xxp_{y}) - (yp_{x}x - xyp_{x}) \end{align*}$$

여기서, 서로 다른 좌표에 대한 위치와 운동량은 교환 가능하므로, 처음의 두 항은 $0$이다.

$$xp_{y}x-xxp_{y} = xxp_{y}-xxp_{y}=0$$

따라서 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\begin{align*} [L_{z},x] &= -yp_{x}x + xyp_{x} \\ &= -yp_{x}x + yxp_{x} \\ &= y(xp_{x} - p_{x}x) \\ &= y[x, p_{x}] \\ &= y(\i \hbar) \\ &= \i \hbar y \end{align*}$$

같은 방식으로 $[L_{z}, y]$를 계산해보면 아래와 같ㄷ.

$$\begin{align*} [L_{z},y] &= [xp_{y}-yp_{x},y] \\ &= xp_{y}y-yxp_{y}-yp_{x}y+yyp_{x} \\ &= xp_{y}y-yxp_{y} \\ &= xp_{y}y-xyp_{y} \\ &= x(p_{y}y-yp_{y}) \\ &= x[p_{y},y] \\ &= x(-\i\hbar) \\ &= -\i\hbar x \end{align*}$$

또한 $z$는 $x$, $y$, $p_{x}$, $p_{z}$ 모두와 교환가능하므로 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} [L_{z},z] &= [xp_{y}-yp_{x},z] \\ &= 0 \end{align*}$$

$[L_{z}, p_{x}]$

$[L_{z},p_{x}]$는 교환자의 성질에 의해 다음과 같다.

$$\begin{align*} [L_{z},p_{x}] &= [xp_{y}-yp_{x},p_{x}] \\ &= xp_{y}p_{x}-p_{x}xp_{y}-yp_{x}p_{x}+p_{x}yp_{x} \\ &= xp_{y}p_{x}-p_{x}xp_{y} \\ &= xp_{x}p_{y}-p_{x}xp_{y} \\ &= (xp_{x}-p_{x}x)p_{y} \\ &= [x,p_{x}]p_{y} \\ &= \i\hbar p_{y} \end{align*}$$

세번째 등호는 $y$와 $p_{x}$가 교환 가능하기 때문에 성립한다. 네번째 등호는 $p_{x}$, $p_{y}$가 교환 가능하므로 성립힌다. 같은 방식으로 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} [L_{z},p_{y}] &= [xp_{y}-yp_{x},p_{y}] \\ &= xp_{y}p_{y}-p_{y}xp_{y}-yp_{x}p_{y}+p_{y}yp_{x} \\ &= -yp_{x}p_{y}+p_{y}yp_{x} \\ &= [p_{y},y]p_{x} \\ &= - \i \hbar p_{x} \end{align*}$$

$p_{z}$는 $x$, $y$, $p_{x}$, $p_{y}$ 모두와 교환 가능하므로 아래의 식이 성립한다.

$$\begin{align*} [L_{z},p_{z}] &= [xp_{y}-yp_{x},p_{z}] \\ &= 0 \end{align*}$$

■

$[L_{z}, r^{2}]$, $[L_{z}, p^{2}]$

교환자의 성질에 의해서 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} [L_{z}, x^{2}] &= x[L_{z},x] + [L_{z},x]x \\ &= x\i\hbar y + \i\hbar yx \\ &= 2\i\hbar xy \end{align*}$$

같은 방식으로 아래와 같이 계산할 수 있다.

$$\begin{align*} [L_{z}, y^{2}] &= y[L_{z},y] + [L_{z},y]y \\ &= y(-\i\hbar x) - \i\hbar xy \\ &= -2\i\hbar xy \end{align*}$$

$$\begin{align*} [L_{z},z^{2}] &= z[L_{z},z] + [L_{z},z]z \\ &= 0 \end{align*}$$

따라서 다음을 얻는다.

$$[L_{z}, r^{2}] = [L_{z}, x^{2} + y^{2} + z^{2}] = 2\i\hbar xy - 2\i\hbar xy + 0 = 0$$

위와 같은 방식으로 아래와 같이 계산할 수 있다.

$$\begin{align*} [L_{z},p_{x}^{2}] &= p_{x}[L_{z},p_{x}]+[L_{z},p_{x}]p_{x} \\ &= 2\i\hbar p_{x}p_{y} \end{align*}$$

$$\begin{align*} [L_{z},p_{y}^{2}] &= p_{y}[L_{z},p_{y}]+[L_{z},p_{y}]p_{y} \\ &= -2\i\hbar p_{x}p_{y} \end{align*}$$

$$\begin{align*} [L_{z},p_{z}^{2}] &= p_{z}[L_{z},p_{z}]+[L_{z},p_{z}]p_{z} \\ &= 0 \end{align*}$$

따라서 다음을 얻는다.

$$[L_{z},p^{2}] = [L_{z},p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}] = 2\i\hbar p_{x}p_{y} - 2\i\hbar p_{x}p_{y} + 0 = 0$$

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