구 좌표계에서 각운동량의 사다리 연산자
공식
구 좌표계에서 각운동량의 사다리 연산자는 다음과 같다.
$$ \begin{align*} L_{+} &= \hbar e^{\i\phi}\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} + \i\cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ L_{-} &= -\hbar e^{-\i\phi}\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} - \i\cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ L_{+}L_{-} &= -\hbar ^{2} \left( \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \theta ^{2} } + \cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \theta }+\cot ^{2}\theta \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \phi^{2} } +\i\frac{ \partial }{ \partial \phi}\right) \end{align*} $$
유도
각운동량 사다리 연산자의 정의는 다음과 같다.
$$ L_{+} := L_{x} + \i L_{y} \\ L_{-} := L_{x} - \i L_{y} $$
이때 $L_{x}$와 $L_{y}$는 구 좌표로 다음과 같이 나타난다.
$$ \begin{align*} L_{x} &= \i\hbar \left(\sin\phi\dfrac{\partial }{\partial \theta} + \cos\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ L_{y} &= -\i\hbar \left( \cos\phi \dfrac{\partial }{\partial \theta} - \sin\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ \end{align*} $$
따라서 다음과 같이 정리할 수 있다.
$$ \begin{align*} L_{+} &= \i\hbar \left(\sin\phi\dfrac{\partial }{\partial \theta} + \cos\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) + \hbar \left( \cos\phi \dfrac{\partial }{\partial \theta} - \sin\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ &= \hbar \left(\i\sin\phi\dfrac{\partial }{\partial \theta} + \cos\phi \dfrac{\partial }{\partial \theta} + \i\cos\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi} - \sin\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ &= \hbar \left[ \left(\cos\phi + \i\sin\phi \right)\dfrac{\partial }{\partial \theta} + \i\cot\theta \left(\cos\phi + \i\sin\phi \cot\theta\right) \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right] \\ &= \hbar e^{\i\phi}\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} + \i\cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ &= \hbar e^{\i\phi}\left( \partial_{\theta} + \i\cot\theta \partial_{\phi}\right) \end{align*} $$
$\partial_{x} = \dfrac{\partial }{\partial x}$로 표기하자. 같은 방식으로 계산하여 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} L_{\pm} &= \pm\hbar e^{\pm\i\phi}\left( \dfrac{\partial }{\partial \theta} \pm \i\cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ &= \pm\hbar e^{\pm\i\phi}\left( \partial_{\theta} \pm \i\cot\theta \partial_{\phi}\right) \end{align*} $$
여기서 $L_{+}L_{-}$는 위의 두 식을 곱해서 구하면 된다고 생각하기 쉽지만 그렇지 않다. 미분이 포함되어있어서 그렇게 단순하게 풀어지지는 않는다. 우선 $L_{-}\psi$부터 구해보면 다음과 같다. $\psi_{x} = \dfrac{\partial \psi}{\partial x}$로 표기하자.
$$ \begin{align*} L_{-}\psi &= -\hbar e^{-\i\phi} ( \partial_{\theta} -\i\cot \theta \partial _{\phi} ) \psi \\ &= -\hbar (e^{-\i\phi} \psi _{\theta}-\i\cot\theta \psi_{\phi}) \end{align*} $$
여기에 $L_{+}$를 적용하면 아래와 같다.
$$ \begin{align*} L_{+}L_{-}\psi &= \hbar e^{i\phi}\left( \partial_{\theta}+\i\cot \theta \partial_{\phi} \right)\left[ -\hbar \left(e^{-\i\phi}\psi_{\theta}-\i e^{-\i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right) \right] \\ &= -\hbar^{2} e^{i\phi}\left[ \partial_{\theta}\left(e^{-\i\phi}\psi_{\theta}\right)+\partial_{\theta}\left(-\i e^{-\i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right)+\i\cot \theta \partial_{\phi}\left( e^{-\i\phi} \psi_{\theta}\right)+ \i\cot\theta\partial_{\phi}\left(-\i e^{-\i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right) \right] \end{align*} $$
각각의 항을 풀어보면 다음과 같다.
$$ \partial_{\theta}(e^{-\i\phi}\psi_{\theta}) = e^{-\i\phi}\psi_{\theta \theta } $$
$$ \partial_{\theta}\left(-\i e^{-\i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right) =-\i e^{-\i\phi}\csc^{2}\theta\psi_{\phi}-\i e^{-\i\phi}\cot\theta\psi_{\phi\theta} \tag{1} $$
$$ \begin{align*} \i\cot \theta \partial_{\phi}\left( e^{-\i\phi} \psi_{\theta}\right) &= \i\cot\theta (-\i e^{-\i\phi}\psi_{\theta})+\i\cot\theta e^{-\i\phi}\psi_{\theta\phi} \\ &= \cot\theta e^{-\i\phi}\psi_{\theta}+\i\cot\theta e^{-\i\phi}\psi_{\theta\phi} \tag{2} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \i\cot\theta\partial_{\phi}\left(-\i e^{-\i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right) &= \i\cot \theta \left( -\i(-i)e^{-\i\phi}\cot\theta\psi_{\phi} \right)+\i\cot\theta \left( -\i e^{-\i\phi}\cot\theta \psi_{\phi\phi} \right) \\ &= -\i\cot^{2} \theta e^{-\i\phi}\psi_{\phi} +\cot^{2}\theta e^{-\i\phi} \psi_{\phi\phi} \tag{3} \end{align*} $$
여기서 $(1)$의 두번째 항과 $(2)$의 두번째 항은 서로 상쇄된다. 또한 $(1)$의 첫번째항과 $(3)$의 첫번째 항을 더해보면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} {-}\i e^{-\i\phi}\csc^{2}\theta \psi_{\phi}-\i\cot^{2}\theta e^{-\i\phi}\psi_{\phi} &= -\i e^{-\i\phi}\left( \csc^{2}\theta + \cot^{2} \theta \right)\psi_{\phi} \\ &= -\i e^{-\i\phi}\left( \frac{1}{\sin^{2}\theta}+\frac{\cos ^{2} \theta }{\sin ^{2}\theta} \right)\psi_{\phi} \\ &= -\i e^{-\i\phi}\left( \frac{-\sin ^{2}\theta}{\sin^{2}\theta} \right)\psi_{\phi} \\ &= \i e^{-\i\phi}\psi_{\phi} \end{align*} $$
위 결과들을 원래 식에 대입하면 아래를 얻는다.
$$ \begin{align*} L_{+}L_{-}\psi &= -\hbar^{2} e^{\i\phi}\left[ e^{-\i\phi}\psi_{\theta \theta } + \cot\theta e^{-\i\phi}\psi_{\theta} +\cot^{2}\theta e^{-\i\phi}\psi_{\phi\phi} + \i e^{-\i\phi }\psi_{\phi} \right] \\ &= -\hbar^{2}\left( \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \theta ^{2} } + \cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \theta }+\cot ^{2}\theta \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \phi^{2}} + \i\frac{ \partial }{ \partial \phi}\right)\psi \end{align*} $$
따라서
$$ L_{+}L_{-}=-\hbar ^{2} \left( \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \theta ^{2} } + \cot \theta \frac{ \partial }{ \partial \theta }+\cot ^{2}\theta \frac{ \partial ^{2}}{ \partial \phi^{2} } + \i\frac{ \partial }{ \partial \phi}\right) $$
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