각운동량 연산자의 고유함수는 구면조화함수이다
정리
각운동량 연산자 $L^{2}$와 $L_{z}$는 상수 $l$, $m$에 의해 결정되는 동시 고유함수 $\ket{\ell, m}$를 가진다.
$$ \begin{align*} L^{2}\ket{\ell, m} &= \hbar^{2}\ell(\ell+1)\ket{\ell, m} \\ L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar\ket{\ell, m} \end{align*} $$
이때 각운동량 연산자의 고유함수 $\ket{\ell, m}$은 실제로 구면조화함수 $Y_{l}^{m}$과 같다.
$$ \ket{\ell, m} = Y_{l}^{m} $$
증명
구 좌표계에서 각운동량 연산자 $L_{z}$는 다음과 같다.
$$ L_{z} = -\i\hbar\frac{\partial}{\partial \phi} $$
또한 각운동량의 사다리 연산자는 다음과 같다.
$$ L_{+}L_{-} = -\hbar ^{2} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} + \cot \theta \frac{\partial}{\partial \theta}+\cot ^{2}\theta \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}} +\i\frac{\partial}{\partial \phi}\right) $$
그러면 $L^{2} = L_{+}L_{-} + L_{z}^{2} - \hbar L_{z}$이므로 아래의 식을 얻는다.
$$ \begin{align*} L^{2} &= -\hbar ^{2} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} + \cot \theta \frac{\partial}{\partial \theta}+\cot ^{2}\theta \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}} +\i\frac{\partial}{\partial \phi}\right) + \left( -\i\hbar\frac{\partial}{\partial \phi} \right)^{2} -\hbar \left( -\i\hbar\frac{\partial}{\partial \phi} \right)\\ &= -\hbar ^{2} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} + \cot \theta \frac{\partial}{\partial \theta}+\cot ^{2}\theta \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}} + \i\frac{\partial}{\partial \phi}\right) - \hbar ^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}} + \i \hbar ^{2}\frac{\partial}{\partial \phi} \\ &= -\hbar ^{2} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} + \cot \theta \frac{\partial}{\partial \theta}+\cot ^{2}\theta \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}}\right) \\ &= -\hbar ^{2} \left( \dfrac{1}{\sin\theta} \dfrac{\partial }{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + (\cot ^{2} + 1) \theta \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}} \right) \\ &= -\hbar ^{2} \left( \dfrac{1}{\sin\theta} \dfrac{\partial }{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \dfrac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}} \right) \\ \end{align*} $$
이를 고유함수에 적용하면,
$$ L^{2}\ket{\ell, m}=-\hbar ^{2}\left[ \frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\frac{\partial^{2}}{ \partial \phi^{2} } \right]\ket{\ell, m} = \ell(\ell + 1)\hbar^{2}\ket{\ell, m} $$
따라서 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} && \left[ \frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\frac{\partial^{2}}{ \partial \phi^{2} } \right]\ket{\ell, m} &= -\ell(\ell + 1)\ket{\ell, m} \\ % \implies&& \left[ \frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\frac{\partial^{2}}{ \partial \phi^{2} } + \ell(\ell + 1) \right]\ket{\ell, m} &= 0 \end{align*} $$
그런데 여기서 $\ket{\ell, m} = \Theta(\theta)\Phi(\phi)$와 같이 변수분리된다고 가정하면, 구면조화함수가 만족하는 미분 방정식과 정확하게 똑같다는 것을 알 수 있다.
$$ \begin{align*} && \left[ \frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\frac{\partial^{2}}{ \partial \phi^{2} } \right]\Theta(\theta)\Phi(\phi) &= -\ell(\ell + 1)\Theta(\theta)\Phi(\phi) \\ \implies && \frac{\Phi}{\sin \theta}\frac{d}{d \theta}\left(\sin \theta \frac{d \Theta}{d \theta} \right) + \frac{\Theta}{\sin ^{2} \theta}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2} } &= -\ell(\ell + 1)\Theta\Phi \\ \implies && \frac{1}{\Theta \sin \theta}\frac{d}{d \theta}\left(\sin \theta \frac{d \Theta}{d \theta} \right) + \frac{1}{\Phi \sin ^{2} \theta}\frac{d^{2} \Phi}{d \phi^{2} } &= -\ell(\ell + 1) \\ \end{align*} $$
따라서 각운동량 연산자의 고유함수 $\ket{\ell, m}$은 실제로 구면조화함수 $Y_{l}^{m}$과 같다.
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