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에어리 미분 방정식의 급수해 📂상미분방정식

에어리 미분 방정식의 급수해

정의

다음의 미분방정식을 에어리Airy 미분방정식이라 한다.

y′′−xy=0,−∞<x<∞ y^{\prime \prime}-xy=0,\quad -\infty<x<\infty

설명

이름의 유래는 영국의 천문학자 조지 비델 에어리George Biddell Airy이다.

스토크스 방정식Stokes equation이라고도 불린다.

풀이

y′′y^{\prime \prime}항의 계수가 11이므로 모든 점이 보통점이다. 그 중에서 x=0x=0 근방에서의 급수해를 구해보자. 에어리 방정식의 해가 다음과 같고 수렴 구간 ∣x∣<ρ|x|<\rho에서 수렴한다고 가정하자.

y=∑n=0∞anxn=a0+a1x+a2x2+⋯ y= \sum \limits _{n=0} ^{\infty} a_{n} x^n=a_{0}+a_{1}x+a_2x^2+\cdots

그러면 y′′y^{\prime \prime}는

y′′= ∑n=2∞n(n−1)anxn−2= ∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn= 2⋅1a2+3⋅2a3x+4⋅3a4x2+⋯ \begin{align*} y^{\prime \prime} =&\ \sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} \\ =&\ \sum \limits_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n \\ =&\ 2\cdot 1 a_2+ 3\cdot2 a_{3}x +4\cdot 3 a_{4}x^2+\cdots \end{align*}

미분 방정식에 대입하고, xx의 차수를 맞춰서 정리하면 다음과 같다.

y′′−xy= ∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn−∑n=0∞anxn+1= ∑n=−1∞(n+3)(n+2)an+3xn+1−∑n=0∞anxn+1= 2a2+∑n=0∞(n+3)(n+2)an+3xn+1−∑n=0∞anxn+1= 2a2+∑n=0∞[(n+3)(n+2)an+3−an]xn+1= 0 \begin{align*} y^{\prime \prime}-xy =&\ \sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}-\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+1} \\ =&\ \sum \limits_{n=-1}^{\infty} (n+3)(n+2)a_{n+3}x^{n+1}-\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+1} \\ =&\ 2a_{2}+\sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+3)(n+2)a_{n+3}x^{n+1}-\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+1} \\ =&\ 2a_{2} + \sum \limits_{n=0}^{\infty } \left[ (n+3)(n+2)a_{n+3}-a_{n} \right]x^{n+1} \\ =&\ 0 \end{align*}

임의의 xx에 대해서 항상 성립하려면 모든 계수가 00이어야 한다. 따라서

a2=0 a_{2}=0

급수의 계수의 재귀 관계식을 an+3a_{n+3}에 대해서 정리하면 아래와 같다.

an+3=an(n+3)(n+2) a_{n+3}=\frac{a_{n}}{(n+3)(n+2)}

먼저 n=0n=0에 대해서 구해보면 다음과 같다.

a3= 13⋅2a0a6= 16⋅5a3=16⋅5⋅3⋅2a0a9= 19⋅8a6=19⋅8⋅6⋅5⋅3⋅2a0⋮ \begin{align*} a_{3} =&\ \frac{1}{3\cdot 2}a_{0} \\ a_{6} =&\ \frac{1}{6\cdot 5}a_{3} =\frac{1}{6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}a_{0} \\ a_{9} =&\ \frac{1}{9\cdot 8}a_{6} =\frac{1}{9\cdot 8 \cdot 6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}a_{0} \\ \vdots & \end{align*}

n=1n=1에 대해서 구해보면 다음과 같다.

a4= 14⋅3a1a7= 17⋅6a4=17⋅6⋅4⋅3a1a10= 110⋅9a7=110⋅9⋅7⋅6⋅4⋅3a1⋮ \begin{align*} a_{4} =&\ \frac{1}{4\cdot 3}a_{1} \\ a_{7} =&\ \frac{1}{7\cdot 6}a_{4} =\frac{1}{7\cdot 6 \cdot 4 \cdot 3}a_{1} \\ a_{10} =&\ \frac{1}{10\cdot 9}a_{7} =\frac{1}{10\cdot 9 \cdot 7\cdot 6 \cdot 4 \cdot 3}a_{1} \\ \vdots & \end{align*}

n=2n=2에 대해서 구해보면 다음과 같다.

a5= 15⋅4a2=0a8= 18⋅7a5=0a11= 111⋅10a8=0⋮ \begin{align*} a_{5} =&\ \frac{1}{5\cdot 4}a_{2}=0 \\ a_{8} =&\ \frac{1}{8\cdot 7}a_{5}=0 \\ a_{11} =&\ \frac{1}{11\cdot 10}a_{8} =0 \\ \vdots & \end{align*}

따라서 에어리 미분방정식의 일반해는 다음과 같다.

y= ∑n=0∞anxn= a0+a1x+a3x3+a4x4+a6x6+a7x7+⋯= a0+a1x+13⋅2a0x3+14⋅3a1x4+16⋅5⋅3⋅2a0x6+17⋅6⋅4⋅3a1x7= a0(1+13⋅2x3+16⋅5⋅3⋅2x6+⋯ )+a1(x+14⋅3x4+17⋅6⋅4⋅3x7+⋯ ) \begin{align*} y =&\ \sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} \\ =&\ a_{0}+a_{1}x+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{6}x^{6}+a_{7}x^{7}+\cdots \\ =&\ a_{0}+a_{1}x+\frac{1}{3\cdot 2}a_{0}x^{3}+\frac{1}{4\cdot 3}a_{1}x^{4}+\frac{1}{6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}a_{0}x^{6}+\frac{1}{7\cdot 6 \cdot 4 \cdot 3}a_{1}x^{7} \\ =&\ a_{0}\left( 1+\frac{1}{3\cdot 2}x^{3}+\frac{1}{6\cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}x^{6} + \cdots \right)+a_{1}\left( x+\frac{1}{4\cdot 3}x^{4}+\frac{1}{7\cdot 6\cdot 4\cdot 3}x^{7}+\cdots \right) \end{align*}

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