📂상미분방정식

베셀 함수가 해인 미분 방정식

정리¹

정리1

베셀 방정식과 조금 다른 아래와 같은 미분 방정식이 주어졌다고 하자.

$$\begin{equation} \begin{aligned} && y^{\prime \prime}+\frac{1-2a}{x}y^{\prime}+\left[ (bcx^{c-1})^{2}+\frac{a^{2}-\nu^{2}c^{2}}{x^{2}} \right]y =&\ 0 \\ \text{or} && x^{2}y^{\prime \prime}+(1-2a)xy^{\prime}+\left[ b^{2}c^{2}x^{2c}+(a^{2}-\nu^{2}c^{2}) \right]y =&\ 0 \end{aligned} \label{1} \end{equation}$$

그리고 $Z_{\nu}(x)$를 $J_{\nu}(x)$와 $N_{\nu}(x)$의 임의의 선형결합이라고 하자. 그러면 주어진 미분 방정식의 해는 아래와 같다.

$$y=x^{a}Z_{\nu}(bx^{c})=x^{a}[AJ_{\nu}(bx^{c})+BN_{\nu}(bx^{c})]$$

$\nu$, $a$, $b$, $c$, $A$, $B$는 상수이다.

정리2

$$x^{2}y^{\prime \prime} + xy^{\prime}+(K^{2}x^{2}-\nu^{2})y=0$$

위 미분 방정식의 일반해는 다음과 같다.

$$y=AJ_{\nu}(Kx)+BN_{\nu}(Kx)$$

설명

베셀 방정식

$$\begin{align*} x^2 y^{\prime \prime} +xy^{\prime} +(x^2-\nu^2)y =&\ 0 \\ x(xy^{\prime})^{\prime}+(x^2- \nu ^2) y =&\ 0 \\ y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} y^{\prime} + \left( 1-\frac{\nu^{2}}{x^{2}} \right)y =&\ 0 \end{align*}$$

베셀 방정식과 정확하게 같지 않은 미분 방정식이라도 해를 베셀 함수로 표현할 수 있다는 점은 여러 미분 방정식을 풀 때 굉장히 큰 도움이 된다. 예를 들어

$$\begin{align*} 3xy^{\prime \prime}+y^{\prime}+12y =&\ 0 \\ xy^{\prime \prime}+2y^{\prime}+4y =&\ 0 \\ y^{\prime \prime}+9xy =&\ 0 \end{align*}$$

과 같은 미분 방정식은 정확하게 베셀 방정식과 같은 꼴은 아니지만 여전히 해를 베셀 함수로 표현할 수 있다. 그 해는 차례대로 다음과 같다.

$$\begin{align*} y =&\ x^{1/3}Z_{2/3}(4x^{1/2} )=x^{1/3}\left[A J_{2/3}(4x^{1/2} )+BN_{2/3}(4x^{1/2} ) \right] \\ y =&\ x^{-1/2}Z_{1}(4x^{1/2} )=x^{-1/2}\left[A J_{1}(4x^{1/2} )+BN_{1}(4x^{1/2} ) \right] \\ y =&\ x^{1/2}Z_{1/3}(2x^{3/2} )=x^{1/2}\left[A J_{1/3}(2x^{3/2} )+BN_{1/3}(2x^{3/2} ) \right] \end{align*}$$

증명

증명1

$y=x^{a}J_{\nu}(bx^{c})$에 대해서 성립하는 것만 보이면 충분하다. 우선 $y^{\prime}$, $y^{\prime \prime}$를 구하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} y =&\ x^{a}J_{\nu}(bx^{c}) \\ y^{\prime} =&\ ax^{a-1}J_{\nu}(bx^{c})+bcx^{a+c-1}J_{\nu}^{\prime}(bx^{c}) \\ y^{\prime \prime} =&\ a(a-1)x^{a-2}J_{\nu}(bx^{c}) +abcx^{a+c-2}J_{\nu}^{\prime}(bx^{c}) \\ & +(a+c-1)bcx^{a+c-2}J_{\nu}^{\prime} (bx^{c})+b^{2}c^{2}x^{a+2c-2}J_{\nu}^{\prime \prime}(bx^{c}) \end{align*}$$

이를 $\eqref{1}$에 대입하면

$$\begin{align*} & \Big[a(a-1)x^{a}J_{\nu}(bx^{c}) +abcx^{a+c}J_{\nu}^{\prime}(bx^{c})+(a+c-1)bcx^{a+c}J_{\nu}^{\prime} (bx^{c}) +b^{2}c^{2}x^{a+2c}J_{\nu}^{\prime \prime}(bx^{c}) \Big] \\ & +\Big[(1-2a)ax^{a}J_{\nu}(bx^{c})+(1-2a)bcx^{a+c}J_{\nu}^{\prime}(bx^{c}) \Big] \\ & +\Big[ b^{2}c^{2}x^{a+2c}J_{\nu}(bx^{c})+(a^{2}-\nu^{2}c^{2})x^{a}J_{\nu}(bx^{c})\Big] = 0 \end{align*}$$

미분 계수에 따라서 정리해주면

$$\begin{align*} & (a^{2}-a+a-2a^{2}+b^{2}c^{2}x^{2c}+a^{2}-\nu^{2}c^{2})x^{a}J_{\nu}(bx^{c}) \\ & +(abc+abc+bc^{2}-bc+bc-2abc)x^{a+c}J_{\nu}^{\prime}(bx^{c}) \\ & +(b^{2}c^{2}x^{2c})x^{a}J_{\nu}^{\prime \prime}(bx^{c}) = 0 \end{align*}$$

양변에 $\dfrac{1}{x^{a}}$를 곱하고 계수를 정리하면

$$\begin{align*} && c^{2}(b^{2}x^{2c}-\nu^{2})J_{\nu}(bx^{c}) + c^{2}(bx^{c})J_{\nu}^{\prime}(bx^{c})+c^{2}(b^{2}x^{2c})J_{\nu}^{\prime \prime}(bx^{c}) =&\ 0 \\ \implies && (b^{2}x^{2c}-\nu^{2})J_{\nu}(bx^{c}) + (bx^{c})J_{\nu}^{\prime}(bx^{c})+(b^{2}x^{2c})J_{\nu}^{\prime \prime}(bx^{c}) =&\ 0 \end{align*}$$

여기서 $bx^{c}=z$, $J_{\nu}(z)=y$라고 치환하자 그러면 위 식으로부터 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} && (z^{2}-\nu^{2})y+zy^{\prime}+z^{2}y^{\prime \prime}=&\ 0 \\ \implies && x^{2}y^{\prime \prime}+xy^{\prime}+(x^{2}-\nu^{2})y =&\ 0 \end{align*}$$

이는 베셀 방정식이고 베셀 함수는 베셀 방정식의 해이므로 위 식이 성립한다.

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증명2

$$x^{2}\frac{ d ^{2}y}{ dx^{2} }+x\frac{ d y}{ d x }+(x^{2}-\nu^{2})y=0$$ 위 베셀 미분 방정식의 일반해는 $y=AJ_{\nu}(Kx)+BN_{\nu}(Kx)$이다. 방정식과 일반해에서 $x=Kx$로 치환하면 아래와 같다.

$$K^{2}x^{2}\frac{ d ^{2}y }{ d (Kx)^{2} } +Kx\frac{ d y}{ d(Kx) } +(K^{2}x^{2}-\nu^{2})y=0$$

위 미분 방정식의 일반해는 $y=AJ_{\nu}(Kx)+BN_{\nu}(x)$이다. 미분 방정식의 상수를 정리하면

$$x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+x\frac{ d y}{ dx }+(K^{2}x^{2}-\nu^{2})y=0$$

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