르장드르 다항식
📂함수 르장드르 다항식 정의 르장드르 다항식 Legendre polynomial 은 여러가지 방법으로 정의된다.
생성함수로부터 빌드업 원천점 을 a \mathbf{a} a 관찰점 을 r \mathbf{r} r 분리벡터 를 = r − a \bcR = \mathbf{r} - \mathbf{a} = r − a ( = ∣ ∣ ) (\cR = \left| \bcR \right|) ( = ∣ ∣ ) 전위의 다중극 전개 에서 1 \dfrac{1}{\cR} 1
1 = 1 r [ 1 + a r ( a r − 2 cos θ ) ] = 1 r [ 1 − 1 2 a r ( a r − 2 cos θ ) + 3 8 ( a r ) 2 ( a r − 2 cos θ ) 2 − 5 16 ( a r ) 3 ( r ′ r − 2 cos θ ) 3 + ⋯ ]
\begin{align*}
\dfrac{1}{\cR} &= \dfrac{1}{r} \left[ 1 + \frac{a}{r}\left(\frac{a}{r} - 2\cos\theta\right) \right] \\
&= \dfrac{1}{r}\left[ 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{r}\left( \dfrac{a}{r}-2\cos\theta \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{a}{r} \right)^2 \left( \dfrac{a}{r}-2\cos\theta \right) ^2 -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{a}{r}\right)^3 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\theta \right) ^3 +\cdots \right] \\
\end{align*}
1 = r 1 [ 1 + r a ( r a − 2 cos θ ) ] = r 1 [ 1 − 2 1 r a ( r a − 2 cos θ ) + 8 3 ( r a ) 2 ( r a − 2 cos θ ) 2 − 16 5 ( r a ) 3 ( r r ′ − 2 cos θ ) 3 + ⋯ ]
⟹ r = 1 − 1 2 a r ( a r − 2 cos θ ) + 3 8 ( a r ) 2 ( a r − 2 cos θ ) 2 − 5 16 ( a r ) 3 ( r ′ r − 2 cos θ ) 3 + ⋯
\implies \dfrac{r}{\cR} = 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{r}\left( \dfrac{a}{r}-2\cos\theta \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{a}{r} \right)^2 \left( \dfrac{a}{r}-2\cos\theta \right) ^2 -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{a}{r}\right)^3 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\theta \right) ^3 +\cdots
⟹ r = 1 − 2 1 r a ( r a − 2 cos θ ) + 8 3 ( r a ) 2 ( r a − 2 cos θ ) 2 − 16 5 ( r a ) 3 ( r r ′ − 2 cos θ ) 3 + ⋯
이때 = r [ 1 + a r ( a r − 2 cos θ ) ] \cR = r\left[1+\dfrac{a}{r}\left( \dfrac{a}{r}-2\cos\theta\right)\right] = r [ 1 + r a ( r a − 2 cos θ ) ] 이므로
1 ( 1 − 2 cos θ a r + ( a r ) 2 ) − 1 / 2 = 1 − 1 2 a r ( a r − 2 cos θ ) + 3 8 ( a r ) 2 ( a r − 2 cos θ ) 2 − 5 16 ( a r ) 3 ( r ′ r − 2 cos θ ) 3 + ⋯
\dfrac{1}{\left(1 - 2\cos\theta \dfrac{a}{r} + \left(\dfrac{a}{r}\right)^{2} \right)^{-1/2}} = 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{r}\left( \dfrac{a}{r}-2\cos\theta \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{a}{r} \right)^2 \left( \dfrac{a}{r}-2\cos\theta \right) ^2 -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{a}{r}\right)^3 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\theta \right) ^3 +\cdots
( 1 − 2 cos θ r a + ( r a ) 2 ) − 1/2 1 = 1 − 2 1 r a ( r a − 2 cos θ ) + 8 3 ( r a ) 2 ( r a − 2 cos θ ) 2 − 16 5 ( r a ) 3 ( r r ′ − 2 cos θ ) 3 + ⋯
여기서 x ≡ cos θ x \equiv \cos\theta x ≡ cos θ t ≡ a r t \equiv \dfrac{a}{r} t ≡ r a
1 1 − 2 x t + t 2 = 1 − 1 2 t ( t − 2 x ) + 3 8 t 2 ( t − 2 x ) 2 − 5 16 t 3 ( t − 2 x ) 3 + ⋯
\dfrac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^{2}}} = 1- \dfrac{1}{2}t\left( t-2x \right) +\dfrac{3}{8}t^2 \left( t-2x \right) ^2 -\dfrac{5}{16}t^3 \left( t-2x \right) ^3 +\cdots
1 − 2 x t + t 2 1 = 1 − 2 1 t ( t − 2 x ) + 8 3 t 2 ( t − 2 x ) 2 − 16 5 t 3 ( t − 2 x ) 3 + ⋯
우변을 t t t P n ( x ) P_{n}(x) P n ( x )
정의 함수 g ( x , t ) = ( 1 − 2 x t + t 2 ) − 1 / 2 g(x, t) = (1 - 2xt + t^{2})^{-1/2} g ( x , t ) = ( 1 − 2 x t + t 2 ) − 1/2 t t t 멱급수 를 생각하자. n n n t n t^{n} t n P n ( x ) P_{n}(x) P n ( x ) 르장드르 다항식 이라 정의한다.
g ( x , t ) = 1 1 − 2 x t + t 2 = ∑ n = 0 ∞ P n ( x ) t n , ∣ t ∣ < 1
g(x, t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^{2}}} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} P_{n}(x)t^{n}, \qquad |t| \lt 1
g ( x , t ) = 1 − 2 x t + t 2 1 = n = 0 ∑ ∞ P n ( x ) t n , ∣ t ∣ < 1
미분방정식의 해로서 다음과 같은 미분 방정식을 르장드르 미분방정식 이라 한다. 이 방정식의 해를 르장드르 다항식 이라 정의한다.
( 1 − x 2 ) d 2 y d x 2 − 2 x d y d x + n ( n + 1 ) y = 0
(1-x^{2}) \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}} -2x\dfrac{dy}{dx} + n(n+1) y = 0
( 1 − x 2 ) d x 2 d 2 y − 2 x d x d y + n ( n + 1 ) y = 0
로드리게스 공식 다음과 같은 함수 P n P_{n} P n
P n ( x ) = 1 2 n n ! d n d x n ( x 2 − 1 ) n
P_{n}(x) = \dfrac{1}{2^{n} n!} \dfrac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{2}-1)^{n}
P n ( x ) = 2 n n ! 1 d x n d n ( x 2 − 1 ) n
이를 로드리게스 공식 이라 한다.
설명 정의에 의해 P n P_{n} P n '함수' 가 맞으나 관습적으로 르장드르 '다항식' 이라 부른다. 한국어로만 그런 것이 아니라 영어 표현도 polynomial function이 아닌 Legendre polynomial이다. 르장드르 다항식은 수학, 물리학, 공학 등 여러 분야에서 사용된다. 직교성 을 포함하여 수학적으로 여러가지 좋은 성질을 가지고 있고, 구면좌표계에서 라플라스 방정식의 해로서 등장하기 때문이다.
P n P_{n} P n n n n 다항 함수 이다.
명시적 꼴 처음 몇 개의 르장드르 다항식은 다음과 같다. n n n P n P_{n} P n n n n
P 0 ( x ) = 1 P 1 ( x ) = x P 2 ( x ) = 1 2 ( 3 x 2 − 1 ) P 3 ( x ) = 1 2 ( 5 x 3 − 3 x ) P 4 ( x ) = 1 8 ( 35 x 4 − 30 x 2 + 3 ) ⋮
\begin{align*}
P_{0}(x) &= 1 \\
P_{1}(x) &= x \\
P_{2}(x) &= \dfrac{1}{2}(3x^2-1) \\
P_{3}(x) &= \dfrac{1}{2}(5x^3-3x) \\
P_{4}(x) &= \dfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) \\
\vdots
\end{align*}
P 0 ( x ) P 1 ( x ) P 2 ( x ) P 3 ( x ) P 4 ( x ) ⋮ = 1 = x = 2 1 ( 3 x 2 − 1 ) = 2 1 ( 5 x 3 − 3 x ) = 8 1 ( 35 x 4 − 30 x 2 + 3 )
성질 직교성 구간 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] 직교 집합 을 이룬다. (링크 )
∫ − 1 1 P n ( x ) P m ( x ) d x = 2 2 n + 1 δ n m
\int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x) dx =\frac{2}{2n+1}\delta_{nm}
∫ − 1 1 P n ( x ) P m ( x ) d x = 2 n + 1 2 δ nm
또한 르장드르 다항식은 자기보다 차수가 낮은 다항식과 직교한다. f ( x ) f(x) f ( x ) n n n
∫ − 1 1 P n ( x ) f ( x ) d x = 0
\int_{-1}^{1}P_{n}(x)f(x)dx=0
∫ − 1 1 P n ( x ) f ( x ) d x = 0
점화식 르장드르 다항식은 아래의 점화식 을 만족한다. (링크 )
( 2 n + 1 ) P n ( x ) = P n + 1 ′ ( x ) − P n − 1 ′ ( x )
(2n+1)P_{n}(x)=P^{\prime}_{n+1}(x)-P^{\prime}_{n-1}(x)
( 2 n + 1 ) P n ( x ) = P n + 1 ′ ( x ) − P n − 1 ′ ( x )
n P n ( x ) = ( 2 n − 1 ) x P n − 1 ( x ) − ( n − 1 ) P l − 2 ( x )
nP_{n}(x)=(2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{l-2}(x)
n P n ( x ) = ( 2 n − 1 ) x P n − 1 ( x ) − ( n − 1 ) P l − 2 ( x )
x P l ′ ( x ) − P n − 1 ′ ( x ) = n P n ( x )
xP^{\prime}_{l}(x)-P^{\prime}_{n-1}(x) = nP_{n}(x)
x P l ′ ( x ) − P n − 1 ′ ( x ) = n P n ( x )
생성함수 르장드르 다항식의 생성함수 는 다음과 같다.
Φ ( x , t ) = 1 1 − 2 x t + t 2 , ∣ t ∣ < 1
\Phi (x, t)=\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}},\qquad |t|<1
Φ ( x , t ) = 1 − 2 x t + t 2 1 , ∣ t ∣ < 1
르장드르 다항식을 생성함수로부터 정의한 경우에는 자명하다. 미분방정식의 해로서 정의한 경우에도 성립함을 보일 수 있다. 생성함수는 정의에 의해 아래의 식을 만족한다.
Φ ( x , t ) = P 0 ( x ) + P 1 ( x ) t + P 2 ( x ) t 2 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ P n ( x ) t n
\Phi (x, t) = P_{0}(x) + P_{1}(x)t + P_{2}(x)t^{2} + \cdots = \sum \limits_{n=0}^{\infty} P_{n}(x)t^{n}
Φ ( x , t ) = P 0 ( x ) + P 1 ( x ) t + P 2 ( x ) t 2 + ⋯ = n = 0 ∑ ∞ P n ( x ) t n
