📂함수

르장드르 다항식

정의

르장드르 다항식^{Legendre polynomial}은 여러가지 방법으로 정의된다.

생성함수로부터¹

빌드업

원천점을 $\mathbf{a}$, 관찰점을 $\mathbf{r}$, 분리벡터를 $\bcR = \mathbf{r} - \mathbf{a}$ $(\cR = \left| \bcR \right|)$라 하자. 전위의 다중극 전개에서 $\dfrac{1}{\cR}$은 다음과 같이 구해진다.

$$ \begin{align*} \dfrac{1}{\cR} &= \dfrac{1}{r} \left[ 1 + \frac{a}{r}\left(\frac{a}{r} - 2\cos\theta\right) \right] \\ &= \dfrac{1}{r}\left[ 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{r}\left( \dfrac{a}{r}-2\cos\theta \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{a}{r} \right)^2 \left( \dfrac{a}{r}-2\cos\theta \right) ^2 -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{a}{r}\right)^3 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\theta \right) ^3 +\cdots \right] \\ \end{align*} $$

$$ \implies \dfrac{r}{\cR} = 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{r}\left( \dfrac{a}{r}-2\cos\theta \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{a}{r} \right)^2 \left( \dfrac{a}{r}-2\cos\theta \right) ^2 -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{a}{r}\right)^3 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\theta \right) ^3 +\cdots $$

이때 $\cR = r\left[1+\dfrac{a}{r}\left( \dfrac{a}{r}-2\cos\theta\right)\right]$이므로

$$ \dfrac{1}{\left(1 - 2\cos\theta \dfrac{a}{r} + \left(\dfrac{a}{r}\right)^{2} \right)^{-1/2}} = 1- \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{r}\left( \dfrac{a}{r}-2\cos\theta \right) +\dfrac{3}{8}\left( \dfrac{a}{r} \right)^2 \left( \dfrac{a}{r}-2\cos\theta \right) ^2 -\dfrac{5}{16}\left( \dfrac{a}{r}\right)^3 \left( \dfrac{r^{\prime}}{r}-2\cos\theta \right) ^3 +\cdots $$

여기서 $x \equiv \cos\theta$, $t \equiv \dfrac{a}{r}$라 치환하면,

$$ \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^{2}}} = 1- \dfrac{1}{2}t\left( t-2x \right) +\dfrac{3}{8}t^2 \left( t-2x \right) ^2 -\dfrac{5}{16}t^3 \left( t-2x \right) ^3 +\cdots $$

우변을 $t$에 대한 급수로 정리하고, 계수를 $P_{n}(x)$라 표기하자.

정의

함수 $g(x, t) = (1 - 2xt + t^{2})^{-1/2}$의 $t$에 대한 멱급수를 생각하자. $n$차항 $t^{n}$의 계수 $P_{n}(x)$를 르장드르 다항식이라 정의한다.

$$ g(x, t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^{2}}} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} P_{n}(x)t^{n}, \qquad |t| \lt 1 $$

미분방정식의 해로서

다음과 같은 미분 방정식을 르장드르 미분방정식이라 한다. 이 방정식의 해를 르장드르 다항식이라 정의한다.

$$ (1-x^{2}) \dfrac{d^{2} y}{dx^{2}} -2x\dfrac{dy}{dx} + n(n+1) y = 0 $$

로드리게스 공식

다음과 같은 함수 $P_{n}$을 르장드르 다항식이라 한다.

$$ P_{n}(x) = \dfrac{1}{2^{n} n!} \dfrac{d^{n}}{dx^{n}}(x^{2}-1)^{n} $$

이를 로드리게스 공식이라 한다.

설명

정의에 의해 $P_{n}$은 다항'함수'가 맞으나 관습적으로 르장드르 '다항식'이라 부른다. 한국어로만 그런 것이 아니라 영어 표현도 polynomial function이 아닌 Legendre polynomial이다. 르장드르 다항식은 수학, 물리학, 공학 등 여러 분야에서 사용된다. 직교성을 포함하여 수학적으로 여러가지 좋은 성질을 가지고 있고, 구면좌표계에서 라플라스 방정식의 해로서 등장하기 때문이다.

$P_{n}$은 $n$차 다항 함수이다.

명시적 꼴

처음 몇 개의 르장드르 다항식은 다음과 같다. $n$이 홀수면 $P_{n}$은 홀수 차수의 항만을 가지고, $n$이 짝수면 짝수 차수의 항만을 가진다.

$$ \begin{align*} P_{0}(x) &= 1 \\ P_{1}(x) &= x \\ P_{2}(x) &= \dfrac{1}{2}(3x^2-1) \\ P_{3}(x) &= \dfrac{1}{2}(5x^3-3x) \\ P_{4}(x) &= \dfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) \\ \vdots \end{align*} $$

성질

직교성

구간 $[-1,1]$에서 르장드르 다항식은 직교 집합을 이룬다. (링크)

$$ \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x) dx =\frac{2}{2n+1}\delta_{nm} $$

또한 르장드르 다항식은 자기보다 차수가 낮은 다항식과 직교한다. $f(x)$를 $n$보다 차수가 낮은 임의의 다항식이라 하자. 그러면,

$$ \int_{-1}^{1}P_{n}(x)f(x)dx=0 $$

점화식

르장드르 다항식은 아래의 점화식을 만족한다. (링크)

$$ (2n+1)P_{n}(x)=P^{\prime}_{n+1}(x)-P^{\prime}_{n-1}(x) $$

$$ nP_{n}(x)=(2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{l-2}(x) $$

$$ xP^{\prime}_{l}(x)-P^{\prime}_{n-1}(x) = nP_{n}(x) $$

생성함수

르장드르 다항식의 생성함수는 다음과 같다.

$$ \Phi (x, t)=\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^{2}}},\qquad |t|<1 $$

르장드르 다항식을 생성함수로부터 정의한 경우에는 자명하다. 미분방정식의 해로서 정의한 경우에도 성립함을 보일 수 있다. 생성함수는 정의에 의해 아래의 식을 만족한다.

$$ \Phi (x, t) = P_{0}(x) + P_{1}(x)t + P_{2}(x)t^{2} + \cdots = \sum \limits_{n=0}^{\infty} P_{n}(x)t^{n} $$