피타고라스의 정리 증명
정리
직각삼각형의 빗변의 길이를 $c$, 나머지 두 변의 길이를 $a,b$라고 하면 아래의 식이 성립한다. $$ a^2 + b^2 = c^2 $$
설명
여기저기서 쓰이는 건 둘째치고 그 자체만으로도 매우 실용적인 정리다. 가장 오래된 ‘증명’을 남긴 것이 피타고라스기 때문에 그 이름이 붙었지만, 실제로 문명을 이루었다고 할 수 있는 고대인들 대부분 팩트 자체는 알고 있었던 것으로 추측된다.
피타고라스의 정리는 그 증명이 알려진 것만 400가지가 넘는다. 그 중에서 가장 오래된 정리, 즉 피타고라스 본인이 남긴 증명을 배워보도록 하자.
증명
바깥쪽 정사각형의 한 변의 길이는 $(a+b)$고, 안쪽 정사각형의 한 변의 길이는 $c$ 다. 바깥쪽 정사각형의 넓이는 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$이다. 각 꼭짓점을 물고 있는 직각삼각형의 넓이는 $\displaystyle {ab \over 2}$ 다. 따라서 안쪽 정사각형의 넓이는 $$ (a+b)^2 - 4{ab \over 2} = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab $$ 라고 할 수 있다. 한편 안쪽 정사각형의 넓이는 $c^2$이기도 하므로 $$ a^2 + b^2 = c^2 $$
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혹자는 이 증명을 ‘보아라’로 요약할 수 있다고 했다. 그만큼 직관적이고 쉬운 증명이니 한번 딱 제대로 보고 잊지 않도록 하자.