📂정수론

일반화된 디리클레 곱

정의 ¹

$F : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{C}$ 는 $x \in (0,1)$ 에서 $F(x) = 0$ 인 함수라고 하자. 임의의 산술 함수 $\alpha$ 에 대해 다음과 같은 연산 $\circ$ 을 일반화된 디리클레 곱이라 정의한다. $$(\alpha \circ F)(x) := \sum_{n \le x} \alpha (n) F \left( {{ x } \over { n }} \right)$$

기초 성질

$\alpha$ 와 $\beta$ 는 산술 함수고 $F , G : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{C}$ 는 $x \in (0,1)$ 에서 함숫값이 $0$ 인 함수이라 하자.

• [1]: $\alpha \circ \left( \beta \circ F \right) = \left( \alpha \ast\ \beta \right) \circ F$
• [2] 좌항등원: $(I \circ F) = F$
• [3] 일반화된 역 공식: $\alpha$ 가 인버스 $\alpha^{-1}$ 를 가지면 $$G(x) = \sum_{n \le x} \alpha (n) F \left( {{ x } \over { n }} \right) \iff F(x) = \sum_{n \le x} \alpha^{-1} (n) G \left( {{ x } \over { n }} \right)$$
• [4] 일반화된 뫼비우스 역 공식: $\alpha$ 가 완전승법적이면 $$G(x) = \sum_{n \le x} \alpha (n) F \left( {{ x } \over { n }} \right) \iff F(x) = \sum_{n \le x} \mu (n) \alpha (n) G \left( {{ x } \over { n }} \right)$$

설명

일반화된 디리클레 곱은 해석적 정수론 전반에서 흔하게 등장한다. 원래의 컨볼루션과 달라진 점은 두 함수 중 하나가 산술함수가 아니어도 되게끔 확장된 점과 $\sum$ 의 인덱스가 $d \mid n$ 에서 $n \le x$ 으로 바뀌었다는 것이다. 만약 $F$ 가 $x \notin \mathbb{N}$ 인 모든 곳에서 $F(x) = 0$ 인 산술함수라면, $\circ$ 는 정확하게 $\ast$ 이 된다. 다시 말해, 모든 $m \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$(\alpha \circ F) (m) = (\alpha \ast\ F)(m)$$ 이므로 $\circ$ 를 $\ast$ 의 일반화라고 부르는 것이다. 이러한 연산 $\circ$ 는 일반적으로는 결합법칙이나 교환법칙이 성립하지 않을 수 있다. 정의만 보아도 연산자의 왼쪽은 산술함수여야하는 제약이 있는데, 이 때문에 정리 [2]가 그냥 항등원이 아닌 좌항등원에 대한 성질만을 언급하는 것이다.

정리 [4]는 뫼비우스의 역 공식의 일반화인데, 건드리는 부분이 산술 함수 $\alpha$ 가 아닌 확장된 함수 $F$ 와 $G$ 라는 것에 주의해야한다.

[1]

$x > 0$ 에 대해 $$\begin{align*} \left[ \alpha \circ \left( \beta \circ F \right) \right] (x) =& \sum_{n \le x} \alpha (n) \sum_{m \le x/n} \beta (m) F \left( {{ x } \over { mn }} \right) \\ =& \sum_{mn \le x} \alpha (n) \beta (m) F \left( {{ x } \over { mn }} \right) \\ =& \sum_{k \le x} \left[ \sum_{n \mid k } \alpha (n) \beta \left( {{ k } \over { n }} \right) \right] F \left( {{ x } \over { k }} \right) \\ =& \sum_{k \le x} ( \alpha \ast\ \beta ) (k) F \left( {{ x } \over { k }} \right) \\ =& \left[ ( \alpha \ast\ \beta ) \circ F \right] (x) \end{align*}$$

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[2]

아이덴터티 $I$ 는 모든 $m \in \mathbb{N}$ 에 대해 $I(n) = [1/n]$ 이므로 $$(I \circ F)(x) = \sum_{n \le x} \left[ {{ 1 } \over { n }} \right] F \left( {{ x } \over { n }} \right) = F(x)$$

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[3]

$G = \alpha \circ F$ 면 **정리 [1]**과 정리 [2]에 따라 $$\alpha^{-1} \circ G = \alpha^{-1} \circ \left( \alpha \circ F \right) = \left( \alpha^{-1} \ast\ \alpha \right) \circ F = I \circ F = F$$ 역방향의 증명도 비슷하다.

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[4]

완전승법적 함수의 성질$f$ 가 승법적이라면, $f$ 가 완전 승법적 함수인 것과 $f$ 의 디리클레 곱에 대한 인버스 $f^{-1}$ 가 다음과 같이 나타나는 것과 동치다. $$f^{-1} (n) = \mu (n) f (n)$$

$\alpha$ 는 완전 승법적으로 가정했으므로, $\alpha^{-1} (n) = \mu (n) \alpha (n)$ 에 대해 정리 [3] 을 적용하면 얻는다.

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같이보기

• 산술 함수의 디리클레 곱