📂복소해석

코시-리만 방정식의 역이 성립하는 조건

정리

복소영역 $A \subseteq \mathbb{C}$ 에서 정의된 복소함수 $f: A \to \mathbb{C}$ 가 실수값을 가지는 함수 $u,v$ 에 대해 $$f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$$ 로 나타날 수 있고, $u,v$ 가 $x,y$ 에 대해 연속인 일차편도함수를 가지는 동시에 연립미분방정식 $$\begin{cases} u_{x} (x,y) = v_{y} (x,y) \\ u_{y} (x,y) = -v_{x} (x,y) \end{cases}$$ 을 만족한다면, $f$ 는 $A$ 에서 해석적이다.

설명

해석학은 항상 이렇게 말이 길어서 읽기도 싫은 게 문제다. 간단하게 요약하자면, 코시-리만 방정식의 역이 성립하려면 편도함수들이 연속이어야한다는 말이다. 당연히 우리가 다룰 대부분의 함수들은 이 조건을 쉽게 만족한다.

증명

Part 1. $u_{x}, u_{y}$ 의 형태

일반성을 잃지 않고 두 실수 $\alpha , \beta > 0$ 에 대해 $h := \alpha + i \beta$ 라 두면 $f$ 에 대해 $$f(z+h) - f(z) = [ u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) ] + i [ v(x+\alpha,y+\beta) - v(x,y) ]$$ 를 얻는다. 마찬가지로 일반성을 잃지 않고 $u$ 만을 생각해보면, 평균값의 정리에 의해 $$\begin{align*} & u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) \\ =& u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y+\beta) + u(x,y+\beta) - u(x,y) \\ =& [u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y+\beta)] + [u(x,y+\beta) - u(x,y)] \\ =& \alpha u_{x} (x+\theta \alpha,y+\beta) + \beta u_{y} (x,y+\phi \beta) \end{align*}$$ 를 만족하는 $0<\theta<1$와 $0<\phi<1$ 가 존재한다.

평균값의 정리: 함수 $f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능하면 $\displaystyle f '(c)={{f(b)-f(a)}\over{b-a}}$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

여기서 $\theta \in (0,1)$ 라고 두는 것은 $u \left( x , y + \beta \right)$ 가 $\left[ x , x + \alpha \right]$ 에서 평균값 정리를 쓸 때 $$\begin{align*} {{ \partial u } \over { \partial x }} \left( c , y + \beta \right) =& {{ u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y+\beta) } \over { \left( x + \alpha \right) - x }} \\ \implies \alpha u_{x} \left( c , y + \beta \right) =& u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y+\beta) \end{align*}$$ 와 같이 $c \in \left( x , x + \alpha \right)$ 을 $x$ 와 $\left( x + \alpha \right)$ 사이의 수 $x + \theta \alpha$ 로 나타낼 수 있기 때문이다.

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Part 2. $f ' (z)$ 의 형태

이제 어떤 $\varepsilon_{1}$ 과 $\varepsilon_{2}$ 에 대해 $$\begin{align*} u_{x} (x+\theta \alpha,y+\beta) =& u_{x} + \varepsilon_{1} \\ u_{y} (x,y+\phi \beta) =& u_{y} + \varepsilon_{2} \end{align*}$$ 라고 두면, 가정에서 $u_{x}$ 와 $u_{y}$ 가 연속이라고 했으므로 $(\alpha,\beta) \to 0$ 일 때 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} \to 0$ 일 것이다. (이 부분 때문에 연속성이 필요하다.) 따라서 $$u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) = \alpha u_{x} + \beta u_{y} + \alpha \varepsilon_{1} + \beta \varepsilon_{2}$$ 이고, 같은 방식으로 $v$ 역시 어떤 $\eta_{1}$ 와 $\eta_{2}$ 에 대해 $$v(x+\alpha,y+\beta) - v(x,y) = \alpha v_{x} + \beta v_{y} + \alpha \eta_{1} + \beta \eta_{2}$$ 라 둘 수 있다. 다시 $f(z+h) - f(z)$ 로 돌아가보면 $u,v$ 가 코시-리만 방정식을 만족하므로 $$\begin{align*} & f(z+h) - f(z) \\ =& [ u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) ] + i [ v(x+\alpha,y+\beta) - v(x,y) ] \\ =& [\alpha u_{x} + \beta u_{y} + \alpha \varepsilon_{1} + \beta \varepsilon_{2}] + i [\alpha v_{x} + \beta v_{y} + \alpha \eta_{1} + \beta \eta_{2}] \\ =& h(u_{x} + i v_{x}) + \alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2} \end{align*}$$ 이고, 여기서 $\xi_{1} := \varepsilon_{1} + \eta_{1}$ 이고 $\xi_{2} := \varepsilon_{2} + \eta_{2}$ 이다. 이제 $$f ' (z) = \lim_{h \to 0} {{f(z+h) - f(z)} \over h} = \lim_{h \to 0} \left( u_{x} + i v_{x} + {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} \right)$$ 이므로 $\lim_{h \to 0} {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} = 0$ 만 보이면 증명이 끝난다.

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Part 3. $\displaystyle \lim_{h \to 0} {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} = 0$

부등식 $$\left| {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over {h}} \right| \le { {\max (|\alpha|,|\beta|)} \over {\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} } |\xi_{1} + \xi_{2}| \le |\xi_{1} + \xi_{2}| \le |\xi_{1}| + |\xi_{2}|$$ 에서 $$\lim_{h \to 0} \xi_{1} = 0 \\ \lim_{h \to 0} \xi_{2} = 0$$ 이므로 다음이 성립한다. $$\lim_{h \to 0} {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} = 0$$

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리뉴얼

• 23년 8월 19일, 류대식, 평균값 정리 관련 내용 집중 보강