📂힐베르트공간

함수의 서포트와 연속함수 공간의 클래스

정의

함수공간 $\mathbb{C}^{\mathbb{R}}$ 의 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ 를 생각해보자.

• 함수 $f$ 의 서포트^support란 다음과 같이 함수값이 $0$ 이 아닌 점들의 집합에 클로져를 취한 클로즈 셋이다. $$\text{supp} f = \overline{\left\{ x \in \mathbb{R} : f(x) \ne 0 \right\}}$$

• $\text{supp} f$ 가 유계면 $f$ 가 컴팩트 서포트를 갖는다고 한다. 클로져는 닫힌 집합이고, 실수 공간에서 닫혀있고 유계인 집합은 컴팩트이기 때문이다.

• $U\Subset V$ 는 $\overline{U} \subset V$이고 $\overline{U}$가 컴팩트임을 뜻한다. 즉, $\mathrm{supp}(f) \Subset U$ 는 $f$가 $U$에서 컴팩트 서포트를 가짐을 의미한다. $\subset \subset$으로 쓰기도 한다.

• 연속함수들의 집합은 벡터 공간이 되며 이를 연속함수공간이라 부르고 다음과 같이 표기한다.

  $$C(\mathbb{R}) := \left\{f \text{ is continuous} \right\}$$

  $C^{1}$과 헷갈릴 여지가 있으면 $C^{0}$이라고 쓴다.

• 컴팩트 서포트를 갖는 연속함수들의 벡터 공간을 다음과 같이 표기한다.

  $$C_{c} (\mathbb{R}) := \left\{ f \in C(\mathbb{R}) : f \text{ has compact support} \right\}$$

• $x \to \pm \infty$ 일 때 함수값이 $0$ 으로 수렴하는 연속함수들의 벡터 공간을 다음과 같이 표기한다.

  $$C_{0} ( \mathbb{R} ) := \left\{ f \in C(\mathbb{R}) : f(x) \to 0 \text{ as } x \to \pm \infty \right\}$$

• $m$번까지 미분 가능하고, 그 도함수들이 모두 연속인 연속함수들의 벡터 공간을 다음과 같이 표기한다.

  $$C^{m}(\mathbb{R}) :=\left\{ f \in C(\mathbb{R}) : f^{(n)} \text{ is continuous } \forall n \le m \right\}$$

  이때$C^{0}(\mathbb{R})$은 $C(\mathbb{R})$ 을 의미한다. 이때 $C^{m}$ 의 원소를 $m$-번 연속적으로 미분가능한 함수^{continuously differentiable function}이라 한다.

• 무한히 미분 가능하고, 그 도함수들이 모두 연속인 연속함수들의 벡터 공간을 다음과 같이 표기한다. $$C^{\infty}(\mathbb{R})=\bigcap _{m=0}^{\infty}C^{m}(\mathbb{R})$$ 이때 $C^{\infty}$ 의 원소를 스무스 함수^{smooth function}라고 한다.

※ 저자에 따라 $C_{0}$를 $C_{c}$ 의 의미로 쓰는 경우도 있으므로 교재에서 정의된 노테이션을 잘 확인하도록 하자.

설명

소볼레프 공간, 초함수론 등에서는 $C_{c}^{\infty}$를 주로 다루게 된다.

자명하게도 $C_{c} (\mathbb{R})$ 은 $C_{0} (\mathbb{R})$ 의 부분 공간이 된다. 둘 모두 그냥 연속함수의 공간인 $C (\mathbb{R})$ 에 비하면 좋은 공간이지만, 작용소놈 $\left\| \cdot \right\|_{\infty}$에 대해 바나흐 공간이 되지 못함에 주의해야한다. 가령 다음과 같은 $\left\{ f_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset C_{c} (\mathbb{R})$ 을 생각해보면

$$f_{k} (x) := \begin{cases} {{ \sin x } \over { x }} \chi_{[ - k \pi , k \pi ]} (x) & , x \ne 0 \\ 1 & , x = 0 \end{cases}$$

$f_{k}$ 는 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 컴팩트 서포트 $[-k \pi , k \pi]$ 를 갖지만 다음과 같은 싱크함수 $\sinc \in C_{0} (\mathbb{R}) \setminus C_{c} (\mathbb{R})$ 로 수렴한다.

$$\sinc x = \begin{cases} {{ \sin x } \over { x }} & , x \ne 0 \\ 1 & , x = 0 \end{cases}$$

거리공간으로서¹

$X = C[0, 1]$를 구간 $[0, 1]$위에서 연속인 실함수^{real-valued function}들의 집합이라고 하자. 그리고 메트릭 $d$를 다음과 같이 정의하자.

$$d(x, y) := \int\limits_{0}^{1} \left| x(t) - y(t) \right| dt \qquad \forall x, y \in X$$

그러면 거리공간 $(X, d)$는 완비 공간이 아니다. 함수 $x_{m}$을 아래의 그림 (a)와 같은 함수라고 하자.

$n \gt m$이라고 하면, 임의의 $\varepsilon \gt 0$에 대해서 $m \gt 1/\varepsilon$일 때마다 $1 \cdot \frac{1}{m} \lt \varepsilon$이므로 두 그래프가 만드는 면적에 대해 $d(x_{m}, x_{n}) \lt \varepsilon$이 성립하고 $\left\{ x_{m} \right\}$은 코시수열이다.

그런데 $x_{m}(t) = 0$ $(t \in [0, 1/2])$이고, $x_{m}(t) = 1$ $(t \in [a_{m}, 1])$이므로, 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} d(x_{m}, x) &= \int\limits_{0}^{1} \left| x_{m(t)} - x(t) \right| dt \\ &= \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}} \left| 0 - x(t) \right| dt + \int\limits_{\frac{1}{2}}^{a_{m}} \left| x_{m(t)} - x(t) \right| dt + \int\limits_{a_{m}}^{1} \left| 1 - x(t) \right| dt \\ &= \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}} \left| x(t) \right| dt + \int\limits_{\frac{1}{2}}^{a_{m}} \left| x_{m(t)} - x(t) \right| dt + \int\limits_{a_{m}}^{1} \left| 1 - x(t) \right| dt \\ \end{align*}$$

이때 각각의 피적분 함수들이 $0$보다 크거나 같기 때문에 $d(x_{m}, x)$가 $0$으로 수렴하려면 각각의 피적분 함수들이 $0$이 되어야한다. 즉 $x_{m} \to x$인 $x$는 $t\in[0, \frac{1}{2})$에서는 $x(t) = 0$이고, $t\in (\frac{1}{2}, 1]$에서는 $x(t) = 1$이다. 이는 명백하게 연속함수가 아니므로, $x \notin X$이고 $\left\{ x_{m} \right\}$은 $X$로 수렴하지 않는다.

놈공간으로서²

연속함수공간 $C[0, 1]$은 위의 예와 같이 적분이 아니라, 최댓값을 놈으로 주면 완비 공간이 된다. 즉 다음과 같이 정의된 $\left\| \cdot \right\|$에 대해서 $(C[0, 1], \left\| \cdot \right\|)$은 완비 놈 공간(바나흐 공간)이다.

$$\left\| f \right\| := \max\limits_{t \in [0, 1]} \left| f(t) \right|,\qquad f \in C[0, 1]$$