📂힐베르트공간

벡터 공간의 리오더링

정의 ¹

벡터 공간 $V$의 시퀀스 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$이 주어져 있다고 하자. 주어진 전단사 $\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 에 대해 다음을 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$의 리오더링^reordering이라 한다.

$$ \left\{ \mathbf{v}_{\sigma (k) } \right\}_{k \in \mathbb{N}} = \left\{ \mathbf{v}_{\sigma (1)} , \mathbf{v}_{\sigma (2)} , \cdots \right\} $$

설명

리오더링 은 순열^permutation이라 불리기도 하는데, 보다시피 어려운 개념이 아니라 그냥 순서만 바꿔놓은 것에 불과하다. 벡터 공간에서 덧셈은 원래 교환법칙을 만족하지만 이러한 정의를 굳이 언급하는 것은 무한 급수에 대해서도 그러한 성질을 속편하게 쓸 수 있을지에 대한 보장이 없기 때문이다.

$$ \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{\sigma (k)} \right\rangle \mathbf{e}_{\sigma (k)} $$

힐베르트 공간 $H$에서는 위와 같은 급수 전개가 $\sigma$, 즉 $\mathbf{e}_{k}$의 순서에 상관없이 모든 $\mathbf{v} \in H$에 대해 성립할 때 무조건적으로 수렴한다^{converges unconditionally}고 말한다. 다행스럽게도 우리는 힐베르트 공간의 정규직교 기저의 독립성이 순서에 상관 없음을 알고 있다. 따라서 다음의 정리를 생각해볼 수 있다.

정리

$\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$이 힐베르트 공간 $H$의 정규직교 기저면 모든 $\mathbf{v} \in H$에 대해

$$ \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} $$

는 무조건적으로 수렴한다.

증명

정규직교 기저의 독립성은 순서에 상관 없다.

정규직교기저의 동치조건: $H$ 가 힐베르트공간이라고 하자. $H$ 의 정규직교 시스템 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 에 대해 다음은 모두 동치다.

• (i): $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 는 $H$ 의 정규직교 기저다.
• (ii): 모든 $\mathbf{x}\in H$ 에 대해 $$ \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \mathbf{e}_{k} $$

$\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$이 힐베르트 공간 $H$의 정규직교 기저이므로 모든 $\mathbf{v} \in H$에 대해

$$ \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} $$

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