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조밀한 부분공간을 갖는 힐베르트 공간의 베셀 시퀀스 📂힐베르트공간

조밀한 부분공간을 갖는 힐베르트 공간의 베셀 시퀀스

정리1

힐베르트 공간 HH가 주어져 있을 때 {vk}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H와 V‾=H\overline{V} = H인 V⊂HV \subset H가 다음을 만족한다고 하자.

∑k∈N∣⟨v,vk⟩∣2≤B∥v∥2,v∈V \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \qquad , \mathbf{v} \in V

그러면 {vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}은 베셀 바운드 BB인 베셀 시퀀스다.

설명

원래 베셀 시퀀스는 모든 v∈H\mathbf{v} \in H에서 부등식을 만족해야했지만, V‾=H\overline{V} = H에 따라 그러한 조건이 약화되어 v∈V\mathbf{v} \in V에서만 만족해도 충분해진다. 특히 HH가 폴란드 공간이라면 자연스럽게 조건을 만족한다.

증명

v∈H\mathbf{v} \in H라고하면 HH가 가분 공간이므로 wl→v\mathbf{w}_{l} \to \mathbf{v}를 만족하는 {wl}l∈N⊂V\left\{ \mathbf{w}_{l} \right\}_{l \in \mathbb{N}} \subset V가 존재한다. 각각의 l∈Nl \in \mathbb{N}와 모든 n∈Nn \in \mathbb{N}에 대해

∑k=1n∣⟨wl,vk⟩∣2≤B∥wl∥2 \sum_{k=1}^{n} \left| \left\langle \mathbf{w}_{l} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{w}_{l} \right\|^{2}

이므로, l→∞l \to \infty를 취하면

∑k=1n∣⟨v,vk⟩∣2≤B∥v∥2 \sum_{k=1}^{n} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2}

이는 모든 n∈Nn \in \mathbb{N}에 대해 성립하므로 n→∞n \to \infty를 취하면

∑k=1∞∣⟨v,vk⟩∣2≤B∥v∥2 \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2}

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  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p789 ↩︎