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구면 조화함수: 구면좌표 라플라스 방정식의 극각, 방위각에 대한 일반해

정의

구면좌표계에서 라플라스 방정식의 극각, 방위각에 대한 일반해는 다음과 같으며, 이를 구면 조화함수^{Spherical harmonics}라고 한다.

$$Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=e^{im\phi}P_{l}^{m}(\cos \theta)$$

이때 $l$은 $l=0,1,2\cdots$이고 $m$은 $-l \le m \le l$를 만족하는 정수이다. 또한 $P_{l}^{m}(\cos\theta)$는 다음과 같다.

$$\begin{align*} P_{l}^{m}(\cos \theta)&= (1-\cos ^{2}\theta)^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} } P_{l}(x) \\ & =(1-\cos ^{2}\theta)^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} }\left[ \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l \right] \end{align*}$$

설명

라플라스 방정식을 만족하는 함수를 조화함수라고 한다. 구면 조화함수는 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 만족하는 함수를 말하며, 정확하게는 지름 성분을 제외한 극각 $\theta$와 방위각 $\phi$에 대한 일반해를 의미한다.

증명

구면좌표계에서 라플라스 방정식은 다음과 같다.

$$\begin{equation} \nabla ^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 \phi}=0 \label{eq1} \end{equation}$$

$f$가 변수 분리가능하다고 가정하자.

$$f=R(r)\Theta (\theta)\Phi (\phi)$$

$f$를 라플라스 방정식 $(1)$에 대입하고 양변 $\dfrac{r^{2} }{R\Theta \Phi}$을 곱하면 다음을 얻는다.

$${\color{blue}\frac{1}{R}\frac{d}{d r} \left( r^2\frac{d R}{d r} \right)} + {\color{green}\frac{1}{\Theta\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left( \sin\theta \frac{d \Theta}{d \theta} \right) + \frac{1}{\Phi\sin^2\theta}\frac{d^2 \Phi}{d \phi^2}} =0$$

이제 첫째항은 오로지 $r$에만 영향을 받는 항이고 나머지 항은 $\theta$, $\phi$에만 영향을 받는다. 따라서 두 부분이 각각 상수이다. 왜냐하면 $r$이 변화할 때 영향을 받을 수 있는건 첫째항 뿐인데 첫째항이 변한다면 나머지 부분은 그대로기 때문에 수식이 성립하지 않는다. 따라서 색깔로 구분해놓은 각각의 항은 상수이다.

이제 $\theta$, $\phi$에 관한 항을 상수 $-l(l+1)$라고 두자. 이때 $l$은 임의의 복소수라고 가정을 하지만, 결국 나중에 정수일 수 밖에 없다는 조건을 얻는다. 처음에 어떤 상수로 두는지 크게 신경쓰지 않아도 된다.

$$\frac{1}{\Theta\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left( \sin\theta \frac{d \Theta}{d \theta} \right) + \frac{1}{\Phi\sin^2\theta}\frac{d^2 \Phi}{d \phi^{2}}=-l(l+1)$$

양변에 $\sin ^{2} \theta$를 곱하고 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{equation} \frac{\sin \theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left( \sin\theta \frac{d \Theta}{d \theta} \right)+l(l+1)\sin^{2}\theta =- \frac{1}{\Phi}\frac{d^2 \Phi}{d \phi^{2}} \label{eq2} \end{equation}$$

좌우변에 변수 $\theta$, $\phi$가 각각 분리돼있으므로 아까와 마찬가지로 양변은 각각 상수라는 것을 알 수 있다. 우변을 $m^{2}$이라고 두자. 그러면 다음을 얻는다.

$$\frac{d^2 \Phi}{d \phi^{2}}=-m^{2}\Phi$$

이는 간단한 2계 미분 방정식이다. 짧게나마 설명하자면 두번 미분해서 자신이 되는 함수는 지수함수이다. 그런데 상수가 제곱해서 음수가 되야하므로 다음과 같이 지수에 $i$가 있어야한다.

$$\begin{equation} \Phi (\phi)=e^{im\phi} \label{eq3} \end{equation}$$

이때 $e^{-im\phi}$를 고려하지 않는 이유는 해가 $m$이 같은 크기의 양수, 음수에 대해서 모두 존재하기 때문이다. 예를 들어 $m=-1, 0,1$에 대해서 해가 존재한다고 할 때 $e^{i\phi}$, $e^{-i\phi}$ 모두 얻을 수 있기 때문에 $(3)$으로만 해를 표현해도 충분하다. $\phi$는 방위각이므로 $\Phi (\phi)=\Phi (\phi+2\pi)$를 만족해야 한다. 따라서 다음을 얻는다.

$$e^{im\phi}=e^{im(\phi+2\pi)}=e^{im\phi}e^{i2m\pi} \\ \implies e^{i2m\pi}=1$$

오일러 공식을 이용하면 다음을 얻는다.

$$e^{i2m\pi}=\cos(2m\pi)+i\sin(2m\pi)=1$$

위 식이 성립하려면 $m$이 정수여야 한다.

$$m=0,\pm1,\pm2,\cdots$$

이 결과는 양자역학에서 자기 양자수가 $-l$과 $l$사이의 정수값으로만 존재한다는 사실과 관련이 있다. 이제 $\theta$에 대한 미분방정식을 풀어보자. $(2)$로부터 아래의 식을 얻는다 $$\sin \theta\frac{d}{d\theta}\left( \sin\theta \frac{d \Theta}{d \theta} \right)+[l(l+1)\sin^{2}\theta -m^2]\Theta=0$$

이는 버금 르장드르 미분 방정식이고, 그 해는 아래와 같다.

$$\begin{align} \Theta (\theta) &= P_{l}^{m}(\cos \theta) \nonumber \\ &= (1-\cos ^{2}\theta)^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} } P_{l}(x) \nonumber \\ &=(1-\cos ^{2}\theta)^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} }\left[ \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l \right] \label{eq4} \end{align}$$

이때 $P_{l}(x)$는 르장드르 다항식이다.

$$P_{l}(x)=\dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$$

드장드르 다항식의 조건에서 $l$은 음이 아닌 정수이다.

$$l=0,1,2,\cdots$$

이때 $\eqref{eq4}$에서 $(x^{2}-1)^{l}$은 $2l$차 다항식이다. 총 $l+|m|$번 미분하므로 $|m|>l$이게 되면 $\Theta (\theta)=0$이 되어서 아무런 의미가 없어진다. 따라서 $m$은 $-l\le m \le l$의 조건을 만족해야 한다.

$$m=-l,-l+1,\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots,l-1,l$$

마지막으로 정리하면 구면 조화함수 $Y_{l}^{m}(\theta,\phi)$는 다음과 같다.

$$Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=e^{im\phi}P_{l}^{m}(\cos \theta)$$

이때 $l$은 $l=0,1,2\cdots$이고 $m$은 $-l\le m \le l$를 만족하는 정수이다.

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