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힐베르트 공간으로 일반화된 베셀 부등식 증명 📂힐베르트공간

힐베르트 공간으로 일반화된 베셀 부등식 증명

정리1

{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}이 힐베르트 공간 HH의 정규직교집합이라고 하면 다음이 성립한다.

(a) 모든 {ck}k∈N∈ℓ2\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2}에 대해 무한 급수 ∑k∈Nckvk\sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}는 수렴한다.

(b) 모든 v∈H\mathbf{v} \in H에 대해

∑k∈N∣⟨v,vk⟩∣2≤∥v∥2 \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le \left\| \mathbf{v} \right\|^{2}

설명

ℓ2\ell^{2} 공간이란 제곱의 합이 수렴하는 복소수 시퀀스의 집합으로 이루어진 함수공간이다. 베셀 부등식은 푸리에 해석에서 중요하게 다뤄지며, 일반적인 힐베르트 공간으로 확장될 수 있다.

증명

(a)

{ck}k∈N∈ℓ2\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2}라고 하자. 모든 자연수 n>mn > m에 대해

∥∑k=1nckvk−∑k=1mckvk∥2=∥∑k=m+1nckvk∥2=⟨∑k=m+1nckvk,∑l=m+1nclvl⟩=∑k=m+1n∑l=m+1nckcl‾⟨vk,vl⟩ \begin{align*} \left\| \sum_{k=1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} - \sum_{k=1}^{m} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} =& \left\| \sum_{k=m+1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} \\ =& \left\langle \sum_{k=m+1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} , \sum_{l=m+1}^{n} c_{l} \mathbf{v}_{l} \right\rangle \\ =& \sum_{k = m+1}^{n} \sum_{l = m+1}^{n} c_{k} \overline{c_{l}} \left\langle \mathbf{v}_{k} , \mathbf{v}_{l} \right\rangle \end{align*}

{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}의 정규직교성에 따라

∥∑k=1nckvk−∑k=1mckvk∥2=∑k=m+1nckck‾=∑k=m+1n∣ck∣2 \left\| \sum_{k=1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} - \sum_{k=1}^{m} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} = \sum_{k=m+1}^{n} c_{k} \overline{c_{k}} = \sum_{k=m+1}^{n} \left| c_{k} \right|^{2}

{ck}k∈N∈ℓ2\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2}이므로 lim⁡m→∞∑k=m+1n∣ck∣2=0\lim_{m \to \infty} \sum_{k=m+1}^{n} \left| c_{k} \right|^{2} = 0이고, {∑k=1nckvk}n∈N\left\{ \sum_{k =1}^{n} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\}_{n \in \mathbb{N}}은 HH의 코시 시퀀스이므로 수렴한다.

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(b)

위의 (a) 에 따라 다음의 존재성이 보장되며, 피타고라스 정리에 따라

∥∑k=1∞ckvk∥2=∑k=1∞∣ck∣2 \left\| \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\|^{2} = \sum_{k=1}^{\infty} \left| c_{k} \right|^{2}

이제 T:ℓ2→HT : \ell^{2} \to H 를 T{ck}k∈N:=∑k∈NckvkT \left\{ c_{k} \right\} _{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}와 같이 정의하자.

베셀 시퀀스의 동치조건

힐베르트 공간 HH 의 시퀀스 {vk}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 과 B>0B > 0 가 주어져 있다고 하면 아래의 두 명제는 동치이다.

  • {vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 가 베셀 바운드 BB 인 베셀 시퀀스다.

  • 다음과 같이 정의된 작용소 TT 가 선형이고 유계면서 ∥T∥≤B\left\| T \right\| \le \sqrt{B}. T:ℓ2→HT{ck}k∈N:=∑k∈Nckvk T : \ell^{2} \to H \\ T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}

베셀 시퀀스의 정의

힐베르트 공간 HH 의 시퀀스 {vk}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 에 대해 다음을 만족하는 B>0B > 0 가 존재하면 {vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 를 베셀 시퀀스라 하고 BB 를 베셀 바운드라 한다. ∑k=1∞∣⟨v,vk⟩∣2≤B∥v∥2,∀v∈H \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2 } \le B \left\| \mathbf{v} \right\|^{2},\quad \forall \mathbf{v} \in H

그러면 TT 는 선형이고 유계면서 ∥T∥=1\left\| T \right\| = 1 이므로 {vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 는 베셀 바운드 B=1B=1 인 베셀 시퀀스다. 베셀 시퀀스의 정의에 따라, 다음이 성립한다.

∑k∈N∣⟨v,vk⟩∣2≤∥v∥2 \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle \right|^{2} \le \left\| \mathbf{v} \right\|^{2}

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같이보기

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p78-79 ↩︎