📂힐베르트공간

리즈 기저

정의¹

힐베르트 공간 $H$의 정규 직교 기저 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$이 주어져 있다고 하자. 전단사 $U : H \to H$가 선형이고 유계인 작용소 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $\mathbf{v}_{k} := U \mathbf{e}_{k}$라고 하면 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$는 $H$의 기저가 되며 다음이 성립한다.

$$ \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \left( U^{-1} \right)^{ \ast } \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{v}_{k} $$

설명

$U$ 가 주어졌을 때 위와 같이 기저를 구체적으로 잡을 수 있다는 것은 분명 좋은 일이지만 $U$의 조건도 그만큼 좋아야함에 주의하자. 물론 항등 작용소 $I$는 이를 가볍게 만족시키지만, 결국 $\mathbf{v}_{k} = \mathbf{e}_{k}$가 되므로 공허한 주장만이 남는다.

증명

$\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$ 가 $V$ 의 기저이므로, $\mathbf{v} \in V$ 는 $a_{1} = \cdots = 0$ 이 아닌 $\left\{ a_{k} \right\}_{k=1}^{\infty} \subset \mathbb{C}$ 에 대해 다음과 같이 나타난다.

$$ \mathbf{v} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \mathbf{e}_{k} $$

$\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$ 의 정규직교성에 의해 $\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{i} \right\rangle = 1$ 이고 $i \ne j$ 에 대해 $\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = 0$ 이므로

$$ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v} \right\rangle = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k}^{2} $$

한편 $\mathbf{v} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \mathbf{e}_{k}$ 에서

$$ \left\langle \mathbf{v} ,\mathbf{v} \right\rangle = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle $$

즉

$$ \sum_{k =1}^{\infty} a_{k}^{2} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle $$

정리하면

$$ \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left( a_{k} - \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \right) = 0 $$

따라서 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $a_{k} = \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle$ 이어야하고

$$ \mathbf{v} = \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} $$

작용소 $U$ 를 취하면

$$ U \mathbf{v} = \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{v}_{k} $$

여기서 $U^{-1}$ 의 수반 작용소 $\left( U^{-1} \right)^{ \ast }$ 는 리즈 표현 정리에 의해 유일하게 존재한다.

$$ \begin{align*} \mathbf{v} =& U \left( U^{-1} \mathbf{v} \right) \\ =& \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle U^{-1} \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{v}_{k} \\ =& \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle \mathbf{v} , \left( U^{-1} \right)^{ \ast } \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{v}_{k} \end{align*} $$

따라서 모든 $\mathbf{v} \in H$ 와 $\left\{ \mathbf{v}_{k} = U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$ 다음을 만족하는 $\left\{ c_{k} := \left\langle \mathbf{v} , \left( U^{-1} \right)^{ \ast } \mathbf{e}_{k} \right\rangle \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C}$ 이 유일하게 존재한다.

$$ \mathbf{v} = \sum_{k =1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} $$

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