📂힐베르트공간

힐베르트 공간에서 l2 공간으로의 수반 작용소

정리¹

$\left\{ \mathbf{v}_k \right\}_{k \in \mathbb{N}}$이 힐베르트 공간 $H$에서 정의된 시퀀스라 하자. 유계 선형 작용소 $T : \ell^{2} \to H$ 가 다음과 같이 정의되어있다고 하자.

$$ T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} $$

그러면 $T$의 수반 작용소 $T^{ \ast } : H \to \ell^{2}$는 다음과 같이 나타난다.

$$ T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} $$

그 뿐만 아니라, 모든 $\mathbf{v} \in H$ 에 대해

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right|^{2} \le \left\| T \right\|^{2} \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2} $$

그리고 마찬가지로 모든 $\mathbf{v} \in H$ 에 대해

$$ TT^{ \ast } \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \mathbf{v}_{k} , \qquad \mathbf{v} \in H $$

설명

$\ell^{2}$ 공간은 $l^{p}$ 공간 중에서도 내적이 존재한다는 점에서 큰 의미가 있는 공간으로, 그저 $p=2$ 인 한 예시가 아니라 범함수를 다루는 바나흐 공간에서 특별히 중요한 케이스가 된다. 특히 가분 힐베르트 공간과는 등거리동형이기 때문에 아주 중요하다.

증명

$T$ 의 정의에서

$$ \left\langle \mathbf{v} , T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{H} = \left\langle \mathbf{v} , \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} = \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} $$

$T^{ \ast } : H \to \ell^{2}$ 는 $\mathbf{v} \in H$ 의 원소를 어떤 시퀀스 $\left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \in \ell^{2}$ 로 매핑하므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} $$

선형이고 유계인 작용소는 마찬가지로 선형이고 유계이므로

$$ \left\| T^{ \ast } \mathbf{v} \right\|_{2} = \left( \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \right|^{2} \right)^{1/2} \le \left\| T^{ \ast } \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|_{H} $$

이는 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 다음을 함의한다.

$$ \left\| \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \right\|_{2} \le \left\| T^{ \ast } \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|_{H} $$

다시 말해, 매핑 $\mathbf{v} \mapsto \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k}$ 는 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 바운드 된다.

리즈 표현 정리

$H$가 힐베르트 공간이라고 하자. $H$의 선형 범함수 $f \in H^{ \ast }$와 $\mathbf{x} \in H$ 에 대해 $f ( \mathbf{x} ) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{w} \right\rangle$와 $\| f \|_{H^{\ast}} = \| \mathbf{w} \|_{H}$ 을 만족하는 $\mathbf{w} \in H$ 가 유일하게 존재한다.

$$ \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} = \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} $$

그러면 리즈 표현 정리에 따라 다음을 만족하는 $\mathbf{w}_{k} \in H$ 가 존재해야한다. 이는 $T^{ \ast } \mathbf{v}$ 가 어떤 $\left\{ \mathbf{w}_k \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있음을 의미한다.

$$ T^{ \ast }\mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} $$

그러면 $T^{ \ast }$ 의 정의에 따라

$$ \begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} =& \left\langle \mathbf{v} , T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{H} \\ =& \left\langle T^{ \ast } \mathbf{v} , \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{\ell^{2}} \\ =& \left\langle \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} , \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{\ell^{2}} \\ =& \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \end{align*} $$

정리하면

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} = \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} $$

따라서

$$ T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} $$

그러면 수반 작용소의 성질에서 $| T | = \left\| T^{ \ast } \right\|$ 이고 $T^{ \ast }$ 가 유계이므로

$$ \left\| T^{ \ast } \mathbf{v} \right\|_{\ell^{2}}^{2} \le \left\| T^{ \ast } \right\|^{2} \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2} \le \left\| T \right\|^{2}\left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2} $$

급수꼴로 바꾸면

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right|^{2} \le \left\| T \right\|^{2} \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2} $$

마지막으로, $T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k}$ 와 $T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 에서

$$ TT^{ \ast } \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \mathbf{v}_{k} , \qquad \mathbf{v} \in H $$

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