📂힐베르트공간

힐베르트 공간의 수반 작용소

빌드업¹

힐베르트 공간 $\left( H, \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{H} \right)$ 과 $\left( K, \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle_{K} \right)$ 에 대해 유계 선형 작용소 $T : K \to H$ 가 주어져있다고 하자. 그러면 임의의 고정된 원소 $\mathbf{w} \in H$ 에 대해 다음과 같이 정의된 $\Phi : K \to \mathbb{C}$ 는 선형 범함수 $\Phi \in K^{ \ast }$ 가 된다.

$$\Phi \mathbf{v} := \left\langle T \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle_{H}$$

리즈 표현 정리에 따르면 힐베르트 공간 $K$ 는 $\Phi \in K^{ \ast }$ 와 모든 $\mathbf{v} \in K$ 에 대해 다음을 만족하는 원소 $T^{ \ast } \mathbf{w} \in K$ 가 유일하게 존재해야한다.

$$\Phi \mathbf{v} = \left\langle \mathbf{v} , T^{ \ast } \mathbf{w} \right\rangle_{K}$$

앞서 픽스된 원소 $\mathbf{w} \in H$ 에 대해 $T^{ \ast } \mathbf{w} \in K$ 가 구체적으로 무엇인지는 알 수 없지만, $T^{ \ast }$ 는 $\mathbf{w}$ 를 $T^{ \ast } \mathbf{w}$ 로 매핑하는 작용소 $T^{ \ast } : H \to K$ 로 볼 수 있다. 이러한 논의에서 다음과 같은 개념을 떠올릴 수 있다.

정의

$H,K$ 가 힐베르트 공간이라 하자. 유계 선형 작용소 $T : K \to H$ 에 대해 다음을 만족하는 $T^{ \ast } : H \to K$ 를 $T$ 의 수반 작용소^{adjoint operator} 라 한다.

$$\left\langle T \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle_{H} = \left\langle \mathbf{v} , T^{ \ast } \mathbf{w} \right\rangle_{K} ,\quad \forall \mathbf{v} \in K$$

설명

듀얼 오퍼레이터^{dual operator}라고도 한다. $T^{\#}$으로도 표기한다.

수반 작용소는 다음과 같은 성질을 갖는다.

• $T^{ \ast }$ 는 선형이고 유계다.
• $\left( T^{ \ast } \right)^{ \ast } = T$
• $\left\| T^{ \ast } \right\| = \left\| T \right\|$

한편 $H = K$ 일 때, 다음과 같이 좋은 성질들을 갖는 수반 작용소는 조금 더 특별한 이름으로 부른다. $H$ 가 힐베르트 공간이고 $T : H \to H$ 가 선형이고 유계라 하자¹.

• $T = T^{ \ast }$ 면 $T$ 가 자기 수반^self-adjoint이라 한다.
• $TT^{ \ast } = T^{ \ast }T = I$ 면 $T$ 가 유니터리^unitary라 한다.

$T$ 가 자기 수반이면 모든 $\mathbf{v} , \mathbf{w} \in H$ 에 대해

$$\left\langle T \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle = \left\langle \mathbf{v} , T \mathbf{w} \right\rangle$$

$T$ 가 유니터리면 모든 $\mathbf{v} , \mathbf{w} \in H$ 에 대해

$$\left\langle T \mathbf{v} , T \mathbf{w} \right\rangle = \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle$$

정의로부터 유니터리 $T$ 는 가역이고,

$$T^{-1} = T^{ \ast }$$

특히 유니터리 작용소는 정규직교 기저와 관련된 아주 중요한 성질을 가진다.