📂정수론

해석적 수론에서의 리우빌 함수

정의 ¹

소수 $p_{1} , \cdots , p_{k}$ 에 대해 자연수 $n$ 을 $n = p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{k}^{a_{k}}$ 과 같이 나타낸다고 하자. 다음과 같이 정의된 산술 함수 $\lambda$ 를 리우빌 함수라 한다. $$ \lambda (n) = (-1)^{a_{1} + \cdots a_{k}} $$

기초 성질

• [1] 리우빌 급수: $n$ 이 제곱수일 때만 $1$ 이고 그 외엔 $0$ 이다. 다시 말해, $$ \sum_{d \mid n} \lambda (d) = \begin{cases} 1 &, n \text{ is a square} \\ 0 & , \text{otherwise}\end{cases} $$
• [2] 완전 승법성: 모든 $m,n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\lambda (mn) = \lambda (m) \lambda (n)$

설명

$$ \begin{matrix} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \ \lambda (n) & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ \sum_{d \mid n} \lambda (d) & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} $$ 리우빌 함수는 그 정의만 보아서는 어떤 함수인지 잘 감이 오지 않는다. 이는 정의가 비슷한 뫼비우스 함수와 마찬가지인데, 흥미롭게도 정리 [1]의 증명과정과 뫼비우스 역 공식에 따르면 다음과 같은 사실을 확인할 수 있다. $$ \lambda^{-1} (n) = \left| \mu (n) \right| , \qquad \forall n \in \mathbb{N} $$

증명

[2]

$$ n = p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{k}^{a_{k}} \\ m = q_{1}^{b_{1}} \cdots q_{r}^{b_{r}} $$ 두 자연수 $m,n$ 이 위와 같이 나타난다고 하자. 그러면 리우빌 함수의 정의에 따라 $$ \lambda (nm) = (-1)^{a_{1} + \cdots a_{k} + b_{1} + \cdots + b_{r}} = (-1)^{a_{1} + \cdots a_{k} }(-1)^{ b_{1} + \cdots + b_{r}} = \lambda (n) \lambda (m) $$

■

[1]

승법적 함수의 성질:

• (2): $f$ 가 승법적 함수인 것과 모든 소수 $p_{1} , \cdots , p_{r}$ 와 모든 $a_{1} , \cdots, a_{r} \in \mathbb{N}$ 에 대해 $f \left( p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{r}^{a_{r}} \right) = f \left( p_{1}^{a_{1}} \right) \cdots f \left( p_{r}^{a_{r}} \right)$ 은 동치다.
• (6): $f$ 가 완전 승법적이면 $F(n) := \sum_{d \mid n} f(d)$ 는 승법적이다.

$g$ 를 $g(n) := \sum_{d \mid n} \lambda (n)$ 과 같이 정의하면 정리 [2]에 따라 $\lambda$ 가 완전 승법적이므로 보조정리 (6)에 따라 $g$ 는 승법적이다. $g$ 가 승법적 함수라면 보조정리 (2)에 따라 $g$ 를 쪼개서 생각할 수 있으므로 어떤 픽스된 소수 $p$ 와 $a \in \mathbb{N}$ 에 대해 $g \left( p^{a} \right)$ 만을 계산하면 충분하다. $$ \begin{align*} g \left( p^{a} \right) =& \sum_{d \mid p^{a}} \lambda (d) \\ =& 1 + \lambda \left( p \right) + \cdots \lambda \left( p^{a} \right) \\ =& 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots + (-1)^{a} \\ =& \begin{cases} 0 &, a \text{ is odd} \\ 1 &, a \text{ is even} \end{cases} \end{align*} $$ 따라서 $g(n)$ 은 $0$ 과 $1$ 들만의 곱으로 나타나며, 단 하나의 $p$ 에 대해서라도 $a$ 가 짝수가 아니면 $0$ 이 곱해져서 $g(n) = 0$ 이 된다.

■