📂복소해석

드 무아브르의 정리를 이용한 삼각함수의 삼배각 공식 유도

공식

$$\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^{3} {\theta} \\ \cos 3\theta = 4 \cos^{3} {\theta} - 3 \cos \theta$$

설명

기존의 변형 공식들은 보통 삼각함수의 덧셈정리를 여러번 써서 얻을 수 있었다.

예를 들어 배각 공식은 $\sin(a + b ) = \sin {a} \cos {b} + \sin {b} \cos {a}$ 에서 $b=a$ 를 대입해 $\sin(a+a) = \sin{2a} = 2 \sin{a} \cos{a}$ 을 얻는 식이다. 물론 이런 방식으로 삼배각, 사배각 공식을 유도하는 것 자체는 아무런 문제가 없다. 하지만 복소해석을 이용하면 좀 더 스마트하게 이러한 공식을 유도해낼 수 있다.

변형 공식들 그 자체보다 유도과정 그 자체가 유용하므로 꼭 숙지해두도록 하자.

유도

드 무아브르의 정리: $z = r \text{cis} \theta$ 이면 $z^n = r^n \text{cis} n\theta$

드 무아브르의 정리에 의해, $r=1$ 이라고 하면 $$(\cos{3\theta} + i \sin{3 \theta}) = \text{cis} 3\theta = z^3 = (\cos{\theta} + i \sin{\theta})^3$$ 위 등식이 성립하는 것과 필요충분조건은 양변의 실수부와 허수부가 각각 서로 같은 것이다. 우변을 전개하기 위해 이항 정리를 사용하면 $$\begin{align*} (\cos{3\theta} + i \sin{3 \theta}) =& (\cos{\theta} + i \sin{\theta})^3 \\ =& \cos ^3 {\theta} + i 3 \cos ^2 {\theta} \sin{\theta} - 3 \cos {\theta} \sin ^2 {\theta} - i \sin ^3 {\theta} \\ =& ( \cos ^3 {\theta} - 3 \cos {\theta} \sin ^2 {\theta} ) + i ( 3 \cos ^2 {\theta} \sin{\theta} - \sin ^3 {\theta} ) \\ =& (4 \cos^{3} {\theta} - 3 \cos \theta) + i ( 3 \sin \theta - 4 \sin^{3} {\theta} ) \end{align*}$$ 즉 $$\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^{3} {\theta} \\ \cos 3\theta = 4 \cos^{3} {\theta} - 3 \cos \theta$$

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응용

이항정리를 이용하는 아이디어를 보면 알겠지만 딱히 삼배각에 얽매인 유도법이 아니다. 얼마든지 자연수에 대해 확장할 수 있고, 급수로 나타내 일반적인 공식을 얻을 수도 있을 것이다. 또 유도과정을 거꾸로 거슬러가보면 차수가 높은 삼각함수항을 여러 항으로 쪼갤수 있음을 알 수 있다.