📂정수론

해석적 수론에서의 디바이저 함수

정의 ¹

$\alpha \in \mathbb{C}$ 에 대해 다음과 같이 정의된 $\sigma_{\alpha} : \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ 을 디바이저 함수라 부른다. $$\sigma_{\alpha} (n) := \sum_{d \mid n} d^{\alpha}$$

기초 성질

• [1] 승법성: $\gcd (m,n) = 1$ 을 만족하는 모든 $m, n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\sigma_{\alpha} (mn) = \sigma_{\alpha} (m) \sigma_{\alpha} (n)$
• [2]: 소수 $p$ 와 자연수 $a$ 에 대해 $$\sigma_{\alpha} \left( p^{a} \right) = \begin{cases} a +1 & , \alpha = 0 \\ {{ p^{\alpha (a+1)} - 1 } \over { p^{\alpha} - 1 }} &,\alpha \ne 0 \end{cases}$$

설명

특히

• $\alpha = 0$ 이면 약수의 수를 나타내는 함수 $d := \sigma_{0}$ 로 나타내기도 한다.
• $\alpha = 1$ 이면 초등적 정수론의 시그마 함수 $\sigma := \sigma_{1}$ 가 된다.

증명

[1]

디리클레 곱과 승법적 성질: $f$ 와 $g$ 가 승법적 함수면 $f \ast\ g$ 도 승법적 함수다.

유닛 함수 $u$ 와 거듭제곱 함수 $N^{\alpha}$ 를 다음과 같이 정의하자. $$u(n) := 1 \\ N^{\alpha} (n) := n^{\alpha}$$ $u$ 와 $N^{\alpha}$ 는 승법적 함수이므로 그 컨볼루션인 $$\left( N^{\alpha} \ast\ u \right)(n) = \sum_{d \mid n} N^{\alpha} (d) u \left( {{ d } \over { n }} \right) = \sum_{d \mid n} d^{\alpha} = \sigma_{\alpha} (n)$$ 역시 승법적 함수여야한다.

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[2]

$p^{a}$ 의 약수는 $1 , p , \cdots ,p^{a}$ 이므로 $$\sigma_{\alpha} ( n) = 1 + p^{\alpha} + \cdots + p^{a\alpha}$$ $\alpha = 0$ 이면 $$\sigma_{\alpha} ( n) = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{a+1} = a + 1$$ $\alpha \ne 0$ 이면 등비 급수 공식 에 따라 $$\sigma_{\alpha} ( n) = {{ p^{\alpha (a+1)} - 1 } \over { p^{\alpha} - 1 }}$$

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