📂정수론

승법적 함수의 아벨리안 그룹

정리 ¹

승법적 함수 들의 집합 $M$ 과 이항 연산 $\ast$ 에 대해 $(M,*)$ 는 아벨리안 그룹이다.

설명

산술 함수의 집합 $A$ 가 컨볼루션 $\ast$과 더불어 아벨리안 그룹 $(A,*)$ 가 되듯, 승법적 함수 역시 아벨리안 그룹이 된다. 물론 $M \le A$, 즉 $M$ 이 $A$ 의 서브 그룹이 된다.

증명

모노이드 $\left< G, \ast\ \right>$ 의 원소 $a$ 와 항등원 $e$ 대해 $a \ast\ a’ = a’ \ast\ a = e$ 를 만족하는 $a '$ 가 존재하면 $\left< G, \ast\ \right>$를 군^group이라고 정의한다. 즉, 군은 아래의 성질들을 만족하는 이항연산구조다.

• (i): 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
• (ii): 모든 원소에 대해 항등원이 존재한다.
• (iii): 모든 원소에 대해 역원이 존재한다.

여기에, 다음의 조건을 추가적으로 만족시키면 아벨 군이라 한다.

• (iv): 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.

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Part (i), (iv). 결합 법칙과 교환 법칙

컨볼루션의 성질

• 결합 법칙: $\left( f \ast g \right) \ast k = f \ast (g \ast k)$
• 교환 법칙: $f \ast\ g = g \ast\ f$

승법적 함수는 산술 함수고 모든 산술 함수는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족한다.

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Part (ii). 항등원

아이덴터티: 다음과 같이 정의된 산술 함수 $I$ 를 아이덴터티 함수라고 한다. $$I(n) := \left[ {{ 1 } \over { n }} \right]$$

$$I(mn) = I(m) I(n) = \begin{cases} 1 &, m = n = 1 \\ 0 & , \text{otherwise} \end{cases}$$ 이므로 완전 승법적 함수고, 당연히 $I \in M$ 이다. 모든 산술 함수에 대해 아이덴터티 $M$ 는 다음을 만족해서 $( M,*)$ 의 항등원으로써 존재한다. $$I \ast\ f = f \ast\ I = f$$

컨볼루션에 대한 승법적 성질:

• [1]: $f$ 와 $g$ 가 승법적 함수면 $f \ast\ g$ 도 승법적 함수다.
• [2]: $g$ 와 $f \ast g$ 가 승법적 함수면 $f$ 도 승법적 함수다.

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Part (i). $\ast$ 에 대해 닫혀있음

컨볼루션에 대한 승법적 성질 [1]에 따라 $M$ 은 $\ast$ 에 대해 닫혀있다.

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Part (iv). 역원

승법적 함수의 성질: $f$ 가 승법적이면 $f(1) = 1$ 이다.

컨볼루션에 대한 인버스: 산술 함수 $f$ 가 $f(1) \ne 0$ 면 그 인버스 $f^{-1}$ 가 유일하게 존재한다.

승법적 함수 $f$ 는 삼술 함수고, 승법적 함수의 성질에 따라 $f(1) \ne 0$ 이므로 인버스 $f^{-1}$ 이 존재한다. 한편 Part (iii). 에서 $f \ast\ f^{-1} = I \in M$ 이었고 컨볼루션에 대한 승법적 성질 [2]에 따라 $f \ast\ g = I$ 를 만족하는 $g = f^{-1}$ 는 승법적 함수여야한다. 다시 말해, 승법적 함수 $f \in M$ 에 대해 인버스 $f^{-1} \in M$ 가 유일하게 존재한다.

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