📂상미분방정식

프로베니우스 방법

설명¹

미분방정식을 푸는 다양한 방법들이 있다. 그 중 하나로 해를 다음과 같이 멱급수라고 가정하는 것이 있다.

$$y=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$$

그런데 어떤 급수들은 위의 꼴로 나타낼 수 없다. 예를 들면 다음과 같다.

$$\frac{\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2!}+\frac{ x^{2}}{4!}-\cdots$$

$$\sqrt{x} \sin x = x^{\frac{1}{2}}\left( x - \frac{x^{3}}{3!}+\cdots \right)$$

이런 경우에는 해를 아래와 같은 꼴이라고 가정한다.

$$\begin{equation} y=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+r}=x^{r}\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} \label{eq1} \end{equation}$$

이때 $r$은 양수, 음수는 물론 유리수도 가능하다. 또한 $a_{0}=0$이면 첫항이 바뀌어서 $r$도 바뀌므로 항상 $a_{0}\ne 0$이라고 가정한다. 급수 $\eqref{eq1}$을 일반화된 멱급수^{generalized power series}라 한다. 해를 일반화된 멱급수로 가정하고 미분방정식을 푸는 방법을 프로베니우스 메소드^{Frobenius method}라고 한다. 프로베니우스 메소드를 쓰는 예로는 베셀 방정식이 있다.