📂상미분방정식

베셀 방정식의 급수해: 제1종 베셀 함수

정의¹

$\nu \in \mathbb{R}$에 대해서, 아래와 같은 꼴의 미분방정식을 $\nu$차 베셀 방정식이라 한다.

$$\begin{align*} && x^{2} y^{\prime \prime} +xy^{\prime}+(x^{2}-\nu^{2})y &= 0 \\ \text{or} && y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} y^{\prime} + \left( 1-\frac{\nu^{2}}{x^{2}} \right)y &= 0 \end{align*}$$

설명

베셀 방정식은 파동방정식을 구면좌표계에서 풀 때 등장하는 미분방정식이다. 계수는 상수가 아니고 독립 변수 $x$에 의존한다. $x=0$일 때 아래의 식을 만족하므로 $x=0$은 정칙 특이점이다.

$$\lim \limits_{x\rightarrow 0} x \frac{x}{x^{2}}=1<\infty,\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}x^{2}\frac{x^{2}-\nu^{2}}{x^{2}}=-\nu^{2} < \infty$$

따라서 프로베니우스 메소드로 해를 구할 수 있고, 급수해는 다음과 같다.

$$\begin{align*} J_{\nu}(x) &= \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2} \right)^{2n+\nu} \\ J_{-\nu}(x) & =\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)\Gamma (n-\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n-\nu} \end{align*}$$

이를 $\nu$차 제1 종 베셀 함수^{the Bessel function of the first kind of order nu}라 한다. 여기서 $\Gamma (x)$는 감마함수이다. 두 급수의 차수를 보면 서로 선형 독립이라는 것을 알 수 있다. 따라서 $\nu$차 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같다.

$$y(x)=AJ_{\nu}(x)+BJ_{-\nu}(x)$$

단 이는 $\nu$가 정수가 아닐 때에만 성립한다. $\nu$가 정수이면 $J_{\nu}$와 $J_{-\nu}$가 독립이 아니므로 노이만 함수^{Neumann function} 라 불리는 두번째 해^{second solution}를 구해야한다.

풀이

베셀 방정식의 해를 다음과 같은 멱급수라고 가정하자.

$$\begin{equation} y=\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r}=x^{r}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots)=a_{0}x^{r}+a_{1}x^{r+1}+a_{2}x^{r+2}+\cdots \label{1} \end{equation}$$

우선 베셀 방정식의 모양을 살짝 바꿔주자. $x(xy^{\prime})^{\prime}=x^{2}y^{\prime \prime}+xy^{\prime}$이므로 베셀 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$x(xy^{\prime})+(x^{2}-\nu^{2})y=0$$

베셀 방정식에 대입하기 위해 $\eqref{1}$로부터 $x(xy^{\prime})^{\prime}, x^{2}y$를 구해보면 다음과 같다.

$$\begin{align*} y^{\prime} &=ra_{0}x^{r-1}+(r+1)a_{1}x^{r}+(r+2)a_{2}x^{r+1}+\cdots \\ xy^{\prime}&=ra_{0}x^{r}+(r+1)a_{1}x^{r+1}+(r+2)a_{2}x^{r+2}+\cdots \\ (xy^{\prime})^{\prime}&=r^{2}a_{0}x^{r-1}+(r+1)^{2}a_{1}x^{r}+(r+2)^{2}a_{2}x^{r+1}+\cdots \\ x(xy^{\prime})^{\prime}&=r^{2}a_{0}x^{r}+(r+1)^{2}a_{1}x^{r+1}+(r+2)^{2}a_{2}x^{r+2}+\cdots \\ &= \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}(r+n)^{2}x^{n+r} \end{align*}$$

이를 베셀 방정식에 대입하면 아래와 같다.

$$\begin{align*} &&&\left( r^{2}a_{0}x^{r}+(r+1)^{2}a_{1}x^{r+1}+(r+2)^{2}a_{2}x^{r+2}+\cdots \right) +(x^{2}-\nu^{2})\left( a_{0}x^{r}+a_{1}x^{r+1}+a_{2}x^{r+2}+\cdots \right) \\ \implies&&& \left( r^{2}a_{0}x^{r}+(r+1)^{2}a_{1}x^{r+1}+(r+2)^{2}a_{2}x^{r+2}+\cdots \right) +\left( a_{0}x^{r+2}+a_{1}x^{r+3}+a_{2}x^{r+4}+\cdots \right) \\ &&&+ \left( -\nu^{2}a_{0}x^{r}-\nu^{2}a_{1}x^{r+1}-\nu^{2}a_{2}x^{r+2}+\cdots \right) \end{align*}$$

이를 $x$의 차수에 맞춰서 정리하면

$$\begin{align*} a_{0}(r^{2}-\nu^{2})x^{r}+a_{1}\left( (r+1)^{2}-\nu^{2} \right)x^{r+1} +\left(a_{2}(r+2)^{2}-a_{2}\nu^{2} +a_{0} \right)x^{r+2}& \\ +\cdots + (a_{n}(r+n)^{2}-a_{n}\nu^{2}+a_{n-2})x^{n+r}+\cdots &= 0 \end{align*}$$

임의의 $x$에 대해서 위 방정식이 항상 성립하려면 모든 계수가 $0$이어야 한다. 첫번째 항부터 살펴보자.

$$a_{0}(r^{2}-\nu^{2})=0$$

$a_{0}\ne 0$이므로 $r=\pm\nu$이다. 두번째 항을 살펴보자

$$a_{1}\left( (r+1)^{2}-\nu^{2} \right)=0$$

앞서 $r=\pm \nu$라는 조건을 구했으므로 괄호 안의 식은 절대 $0$이 될 수 없다. 따라서 $a_{1}=0$이다. 세번째 항의 계수부터는 일반적으로 다음과 같이 나타난다.

$$a_{n}(r+n)^{2}-a_{n}\nu^{2}+a_{n-2}=0$$

이를 정리하면

$$\begin{equation} a_{n}=\frac{-a_{n-2}}{(r+n)^{2}-\nu^{2}} \label{2} \end{equation}$$

앞서 구한 $a_{1}=0$과 위 조건을 합치면 모든 홀수인 $n$에 대해서 $a_{n}=0$이라는 것을 알 수 있다. 따라서 $n$이 짝수일 때의 $a_{n}$만 구하면 된다.

Case 1. $r=\nu$

이 경우 $\eqref{2}$는

$$a_{n}=\frac{- a_{n-2}}{n^{2}+2n\nu}=\frac{-a_{n-2}}{n(n+2\nu)}$$

우리는 짝수인 $n$에 대해서만 관심이 있으므로 $n$을 $2n$으로 표기하자. 그러면

$$a_{2n}=\frac{-a_{2n-2}}{2n(2n+2\nu)}=\frac{-a_{2n-2}}{2^{2}n(n+\nu)}$$

이제 $a_{2}$부터 차례로 구해보면 아래와 같다.

$$\begin{align*} a_{2} & =\frac{-a_{0}}{2^{2}\cdot 1(\nu+1)} \\ a_{4} &= \frac{-a_{2}}{2^{2}\cdot 2(\nu+2)}=\frac{a_{0}}{2^{4}\cdot2\cdot1(\nu+1)(\nu+2)} \\ a_{6} &=\frac{-a_{4}}{2^{2}\cdot3 (\nu+3)}=\frac{-a_{0}}{2^{6}\cdot3\cdot2\cdot1(\nu+1)(\nu+2)(\nu+3)} \\ \vdots \\ a_{2n}&=\frac{(-1)^{n}a_{0}}{2^{2n}n!(\nu+1)(\nu+2)\cdots(\nu+n)} \end{align*}$$ 여기서 감마함수를 이용하면 더 간단히 나타낼 수 있다. 감마함수는 다음과 같은 성질이 있다.

$$\Gamma (\nu+1)=\nu\Gamma (\nu) \implies \dfrac{1}{\nu} = \dfrac{\Gamma (\nu)}{\Gamma (\nu+1)}$$

이를 이용하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} && \frac{1}{\nu+1}&=\frac{\Gamma (\nu+1)}{\Gamma (\nu+2)}& \\ \implies && \frac{1}{(\nu+1)(\nu+2)}&=\frac{\Gamma (\nu+1)}{(\nu+2)\Gamma (\nu+2)}=\frac{\Gamma (\nu+1)}{\Gamma (\nu+3)} \\ \implies && \frac{1}{(\nu+1)(\nu+2)(\nu+3)}&=\frac{\Gamma (\nu+1)}{(\nu+3)\Gamma (\nu+3)} =\frac{\Gamma (\nu+1)}{\Gamma (\nu+4)} \\ \implies && &\vdots \\ \implies && \frac{1}{(\nu+1)\cdots(\nu+n)}&=\frac{\Gamma (\nu+1)}{\Gamma (\nu+n+1)} \end{align*}$$

이를 다시 위에서 구한 계수들에 대입하고 팩토리얼도 감마함수로 나타내면 각 계수는 다음과 같다.

$$\begin{align*} a_{2} & =\frac{-a_{0}\Gamma (\nu +1)}{2^{2} 1! \Gamma (\nu+2)} \\ a_{4} &= \frac{a_{0} \Gamma (\nu+1)}{2^{4} 2!\Gamma (\nu+3)} \\ a_{6} &=\frac{-a_{0}\Gamma (\nu+1)}{2^{6}3!\Gamma (\nu+4)} \\ \vdots \\ a_{2n}&=\frac{(-1)^{n}\Gamma (\nu+1)}{2^{2n}\Gamma (n+1)\Gamma (\nu+n+1)}a_{0} \end{align*}$$

이를 $\eqref{1}$에 대입하면

$$\begin{align*} y &= \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{2n}x^{2n+\nu} \\ &= \sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}a_{0}\Gamma (\nu+1)}{2^{2n}\Gamma (n+1)\Gamma (\nu+n+1)}x^{2n+\nu} \end{align*}$$

모양을 정리해주면

$$y=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{\nu}a_{0}\Gamma (\nu+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n+\nu}$$

$a_{0}=\frac{1}{2^{\nu} \Gamma (\nu+1)}$이라두면

$$J_{\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)\Gamma (n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n+\nu}$$

이를 차수가 $\nu$인 제1종 베셀 함수라고 한다.

Case 2. $r=-\nu$

이 경우는 단순히 Case 1. 의 결과에서 $\nu$를 $-\nu$로 바꾼 것과 같다. 풀이 방식은 완전히 같으니 자세한 계산 과정과 설명 없이 주요 결과만 적도록 하겠다.

$$a_{n}=\frac{- a_{n-2}}{n(n-2\nu)}$$

$$\begin{align*} a_{2n}&=\frac{ -a_{2n-2}}{ 2^{2}n(n-\nu) } \\ &=\frac{(1-)^{n}a_{0}}{2^{2n}n!(1-\nu)(2-\nu)\cdots(n-\nu)} \end{align*}$$

$$\frac{1}{(1-\nu)(2-\nu)\cdots(n-\nu)}=\frac{\Gamma (1-\nu)}{\Gamma (n-\nu+1)}$$

$$a_{2n}=\frac{(-1)^{n}\Gamma (1-\nu)}{2^{2n}\Gamma (n+1)\Gamma (n-\nu+1)}$$

$$\begin{align*} y &=\sum \limits _{n=0} ^{\infty} a_{2n}x^{2n-\nu} \\ &=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}a_{0}\Gamma (1-\nu)}{2^{2n}\Gamma (n+1)\Gamma (n-\nu+1)}x^{2n-\nu} \\ &=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{-\nu}a_{0}\Gamma (1-\nu)}{\Gamma (n+1)\Gamma (n-\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n-\nu} \end{align*}$$

$$a_{0}=\frac{2^{\nu}}{\Gamma (1-\nu)}$$

$$J_{-\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)\Gamma (n-\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n-\nu}$$

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