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디리클레 곱에 대한 인버스 📂정수론

디리클레 곱에 대한 인버스

정의 1

산술 함수 ff 에 대해 다음을 만족하는 산술 함수 f−1f^{-1} 가 유일하게 존재하면 f−1f^{-1} 를 ff 의 (디리클레) 인버스라 한다. f∗ f−1=f−1∗ f=I f \ast\ f^{-1} = f^{-1} \ast\ f = I

정리

  • [1]: 산술 함수 ff 가 f(1)≠0f(1) \ne 0 면 그 인버스 f−1f^{-1} 가 유일하게 존재하고, 다음과 같은 재귀함수로 나타난다. f−1(n)={1f(1),n=1−1f(1)∑d∣n,d<nf(nd)f−1(d),n>1 f^{-1}(n) = \begin{cases} \displaystyle {{1} \over {f(1)}} &,n=1 \\ \displaystyle {{-1} \over {f(1)}} \sum_{d \mid n , d < n } f \left( {{ n } \over { d }} \right) f^{-1}(d) &, n > 1\end{cases}
  • [2]: 두 산술함수 ff, gg 에 대해 f(1)≠0f(1) \ne 0, g(1)≠0g(1) \ne 0 이면 (f∗ g)−1=g−1∗ f−1=f−1∗ g−1 (f \ast\ g)^{-1} = g^{-1} \ast\ f^{-1} = f^{-1} \ast\ g^{-1}

설명

대부분의 수학에서 다루는 역함수와 달리 디리클레 인버스는 사상에 대한 역사상이 아닌 대수적인 센스에서의 인버스를 말한다. 그렇다면 대수적 구조가 자연스럽게 떠오를 것이고, 그 존재성과 유일성 역시 궁금할 수밖에 없다. 다행스럽게도 인버스의 존재성은 아주 간단한 조건을 만족시키는 것으로 충분하다.

특히 승법적 산술 함수라면 다음과 같은 이유로 인버스의 존재성이 확실하게 보장된다. f(1)=f(1⋅1)=f(1)f(1)=1≠0 f(1) = f(1 \cdot 1 ) = f(1) f(1) = 1 \ne 0 이러한 사실로부터 산술 함수의 집합이 아벨리안 그룹이 되기 위한 조건은 f(1)≠0f(1) \ne 0 가 된다.

증명

[1]

I(n)=[1n]\displaystyle I(n) = \left[ {{ 1 } \over { n }} \right] 이므로 n=1n=1 일 때 (f∗ f−1)(1)=I(1)=1\left( f \ast\ f^{-1} \right)(1) = I(1) = 1 이고, 따라서 f−1(1)=1f(1)\displaystyle f^{-1}(1) = {{ 1 } \over { f(1) }} 이다. f(1)≠0f(1) \ne 0 이므로 f−1(1)f^{-1}(1) 역시 유일하다. n>1n >1 이면 (f∗ f−1)(n)=I(n)=0\left( f \ast\ f^{-1} \right)(n) = I(n) = 0 이므로 ∑d∣nf(nd)f−1(d)=0 \sum_{d \mid n} f \left( {{ n } \over { d }} \right) f^{-1} (d) = 0 n=dn=d 인 항만을 빼면 f(1)f−1(n)+∑d∣nd<nf(nd)f−1(d)=0 f(1) f^{-1}(n) + \sum_{d \mid n \\ d < n} f \left( {{ n } \over { d }} \right) f^{-1} (d) = 0 정리하면 f−1(n)=−1f(1)∑d∣nd<nf(nd)f−1(d) f^{-1}(n) = {{-1} \over {f(1)}} \sum_{d \mid n \\ d < n } f \left( {{ n } \over { d }} \right) f^{-1}(d) 앞서 n=1n=1 인 경우에 대해 f−1(1)≠0f^{-1}(1) \ne 0 이 유일하게 존재함을 보였으므로 수학적 귀납법에 따라 f−1(n)f^{-1}(n) 역시 유일하게 존재한다.

■

[2]

전략: 존재성만 증명하면 컨볼루션의 성질에 따라 직접 계산할 수 있다.

컨볼루션의 성질:

  • (1) 결합 법칙: (f∗g)∗k=f∗(g∗k) \left( f \ast g \right) \ast k = f \ast (g \ast k)
  • (2) 교환 법칙: f∗ g=g∗ f f \ast\ g = g \ast\ f

위의 [1]에 따라 f(1)≠0f(1) \ne 0 이고 g(1)≠0g(1) \ne 0 이므로 f−1f^{-1} 와 g−1g^{-1} 은 유일하게 존재한다. 마찬가지로 (f∗ g)(1)=∑d∣1f(d)g(1/d)=f(1)g(1)≠0 (f \ast\ g) (1) = \sum_{ d \mid 1} f(d)g(1/d) = f(1) g(1) \ne 0 이므로 (f∗g)−1\left( f \ast g \right)^{-1} 역시 유일하게 존재한다. 그러면 컨볼루션의 결합법칙에 따라 (f∗ g)∗(g−1∗ f−1)=f∗(g∗g−1)∗ f−1=f∗ I∗ f−1=f∗f−1=I \begin{align*} (f \ast\ g) \ast ( g^{-1} \ast\ f^{-1} ) =& f \ast (g * g^{-1} ) \ast\ f^{-1} \\ =& f \ast\ I \ast\ f^{-1} \\ =& f * f^{-1} \\ =& I \end{align*} (f∗g)−1\left( f \ast g \right)^{-1} 은 유일하므로 (f∗g)−1=g−1∗ f−1\left( f \ast g \right)^{-1} = g^{-1} \ast\ f^{-1} 이어야한다. 또한 컨볼루션의 교환법칙에 따라 (f∗ g)−1=g−1∗ f−1=f−1∗ g−1 (f \ast\ g)^{-1} = g^{-1} \ast\ f^{-1} = f^{-1} \ast\ g^{-1}

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  1. Apostol. (1976). Introduction to Analytic Number Theory: p30. ↩︎