감마함수에 대한 오일러의 극한 공식 유도
공식 1
감마함수 $\Gamma : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \Gamma (x) = \lim_{n \to \infty} {{n^x n!} \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x+n) }} $$
설명
기존에 알고 있던 감마함수는 적분 꼴 $$ \Gamma (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt $$ 의 모양이고 전혀 닮지 않았지만, 1729년에 오일러가 두 표현이 완전히 같음을 증명해냈다. 이 글에서 소개하려는 유도는 원래보다는 조금 약식이지만 이해하는데에 본질적인 문제는 없을 것이다.
유도
$\displaystyle \Gamma_{n}(x) := \int_{0}^{n} t^{x-1} \left( 1 - { t \over n } \right) ^{n} dt$ 이라고 하면 $\displaystyle e^{-t} = \lim_{n \to \infty } \left( 1 - { t \over n } \right) ^{-n}$ 이므로 $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \Gamma_{n}(x) =& \lim _{n \to \infty} \int_{0}^{n} t^{x-1} \left( 1 - { t \over n } \right) ^{n} dt \\ =& \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt \\ =& \Gamma (x) \end{align*} $$ 이다. 한편 $\displaystyle \Gamma_{n}(x) = \int_{0}^{n} t^{x-1} \left( 1 - { t \over n } \right) ^{n} dt$ 에서 $u = {t \over n}$으로 치환하면 $$ \begin{align*} \Gamma_{n}(x) =& \int_{0}^{n} t^{x-1} \left( 1 - { t \over n } \right) ^{n} dt \\ =& \int_{0}^{1} (nu) ^{x-1} ( 1 - u ) ^{n} n du \\ =& n^{x} \int_{0}^{1} u^{x-1} ( 1 - u ) ^{n} du \end{align*} $$ 이다. 부분적분법에 의해 $$ \begin{align*} & \int_{0}^{1} u^{x-1} ( 1 - u ) ^{n} du \\ =& \left[ \left( { 1 \over x} \right) u^x (1-u)^n \right] _{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \left( { 1 \over x} \right) u^x n ( 1 - u ) ^{n-1} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \int_{0}^{1} u^x ( 1 - u ) ^{n-1} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \left( { {n-1} \over {x+1}} \right) \int_{0}^{1} u^{x+1} ( 1 - u ) ^{n-2} du \\ \vdots& \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \int_{0}^{1} u^{x+n-2} ( 1 - u ) ^{1} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \left( { 1 \over {x+n-1}} \right) \int_{0}^{1} u^{x+n-1} ( 1 - u ) ^{0} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \left( { 1 \over {x+n-1}} \right) \int_{0}^{1} u^{x+n-1} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \left( { 1 \over {x+n-1}} \right) \left[ {{ 1 } \over { x+n }} u^{x+n} \right]_{0}^{1} \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \left( { 1 \over {x+n-1}} \right) \left( { 1 \over {x+n}} \right) \\ =& { {n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 \cdot 1 } \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x + n ) } } \\ =& { { n! } \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x + n ) } } \end{align*} $$ 이고, 따라서 $$ \Gamma_{n}(x) = n^{x} { { n! } \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x + n ) } } $$ 을 얻는다. 우리는 앞서 $\displaystyle \Gamma (x) = \lim_{n \to \infty} \Gamma_{n}(x)$ 임을 보였으므로 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} \Gamma (x) =& \lim_{n \to \infty} \Gamma_{n}(x) \\ =& \lim_{n \to \infty} { { n^{x} n! } \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x + n ) } } \end{align*} $$
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