📂동역학

다차원 맵의 카오스

정의¹

맵 $f : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{m}$ 의 바운디드 오빗 $\left\{ \mathbf{v}_{0}, \mathbf{v}_{1}, \cdots \right\}$ 이 다음을 만족하면 이 오빗을 캐어릭^chaotic하다고 한다.

• (i): 어심토티컬리 피리어딕이 아니다.
• (ii): 모든 $i = 1,\cdots , m$ 에 대해 $h_{i} ( \mathbf{v}_{0} ) \ne 0$
• (iii): $h_{1} ( \mathbf{v}_{0}) > 0$

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• 오빗이 바운디드라는 말은 모든 $n \in \mathbb{N}_{0}$ 에 대해 $\left\| \mathbf{v}_{n} \right\| < M$ 을 만족하는 $M \in \mathbb{R}$ 이 존재한다는 뜻이다.
• $h_{i}(\mathbf{v}_{0})$ 은 랴푸노프 지수를 의미한다.

설명

$1$차원 맵의 카오스와 달라진 것은 도메인의 차원 $m$ 에 따라 랴푸노프 지수도 $m$ 개가 계산되는만큼 모든 랴푸노프 지수가 $0$ 이 아니어야하고 가장 큰 랴푸노프 지수가 양수여야한다는 조건이 추가되었다는 점이다. 한편 랴푸노프 지수 중 둘 이상이 양수일 경우 하이퍼 카오스^{hyper chaos}라는 단어를 사용한다.

같이보기

• 1차원 맵의 카오스
• 불변 집합의 카오스
• 미분방정식으로 표현되는 시스템의 카오스