베타함수와 감마함수의 관계
정리
$$ B(p,q) = {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }} $$
설명
베타함수는 $\displaystyle B(p,q) := \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt $ 로 정의되며, 감마함수와 마찬가지로 많은 분야에서 응용이 되고 있는 중요한 함수다. 감마함수는 재귀관계를 이용해서 쉽게 계산할 수 있기 때문에 위의 관계식으로 베타함수도 쉽게 계산할 수 있다.직관적으로 보자면 이항계수의 일반화고, 팩토리얼이 등장하므로 당연히 감마함수와 관련이 많다.
증명
$\displaystyle \Gamma (p) = \int_{0}^{\infty} u^{p-1} e^{-u} du $ 이고 $\displaystyle \Gamma (q) = \int_{0}^{\infty} v^{p-1} e^{-v} dv $ 라 하면, $$ \begin{align*} \Gamma (p) \Gamma (q) &= \int_{0}^{\infty} u^{p-1} e^{-u} du \int_{0}^{\infty} v^{p-1} e^{-v} dv \\ &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} u^{p-1} v^{q-1} e^{-u} e^{-v} du dv \end{align*} $$ $u + v = z$ 이 되도록 $u = zt$, $v = z( 1 - t)$ 로 치환하면 $$ \begin{align*} \Gamma (p) \Gamma (q) &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} (zt)^{p-1} (z(1-t))^{q-1} e^{-u-v} z dt dz \\ &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1} z^{p+q-1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} e^{-z} dt dz \\ &= \int_{0}^{\infty} z^{p+q-1} e^{-z} \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt dz \\ &= \int_{0}^{\infty} z^{p+q-1} e^{-z} dz \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt \\ &= \Gamma (p + q) B(p, q) \end{align*} $$ 정리하면 $$ {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }} = B(p,q) $$
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따름정리: 베타함수의 대칭성
$$ B(p,q) = B(q,p) $$
치환까지 해서 증명하는 것도 미련하고, $\displaystyle B(p,q) = {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }} = {{\Gamma (q) \Gamma (p)} \over {\Gamma (q+p) }} = B(q,p) $ 이 한 줄이면 충분하다.