📂수리통계학

확률 변수들의 선형 결합

정의 ¹

확률변수 $X_{1} , \cdots , X_{n}$ 가 주어져 있다고 하자. 어떤 $(a_{1}, \cdots , a_{n}) \in \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 $\displaystyle T := \sum_{i=1}^{n} a_{i} X_{i}$ 를 선형 결합^{linear Combinations}이라고 한다.

설명

특히 $X_{1} , \cdots , X_{n}$ 이 iid면 사이즈 $n$ 의 랜덤 샘플^{random Sample}이라고도 부른다. 통계학의 맥락이라면 모든 관측값에 같은 가중치가 곱해진 $a_{1} = \cdots = a_{n} = {{ 1 } \over { n } }$ 을 생각할 것이다. 해석학과 선형대수, 확률분포론을 넘어 드디어 수리통계다운 무언가에 도달한 것이라고 보아도 좋다.

한편 선형 결합은 각각이 어떤 분포를 따르는지와 관계 없이 다음의 성질들이 성립한다.

정리

$\displaystyle T := \sum_{i=1}^{n} a_{i} X_{i}$, $\displaystyle W := \sum_{j=1}^{m} b_{j} Y_{j}$ 라고 하자.

• [1] 평균: $$ E(T) = \sum_{i=1}^{n} a_{i} E \left( X_{i} \right) $$
• [2] 공분산: $$ \operatorname{Cov} (T,W) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i} b_{j} \operatorname{Cov}(X_{i},Y_{j}) $$
• [3] 분산: $X_{1} ,\cdots , X_{n}$ 이 상호 독립이면 $$ \operatorname{Var}(T) = \operatorname{Cov}(T,T) = \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \operatorname{Var}(X_{i}) $$

같이보기

• 특정한 분포를 따르는 확률변수들의 덧셈