📂함수

팩토리얼, 더블 팩토리얼, 멀티 팩토리얼

팩토리얼

자연수 $n$에 대해서 $n!$을 $n$팩토리얼^{factorial, 계승, 차례곱}이라 읽고 아래와 같이 정의한다.

$$n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1 =\prod\limits_{k=1}^n k$$

설명

많은 곳에서 식을 깔끔하게 표현하기 위해 사용된다. $0$팩토리얼은 $0!:=1$으로 정의한다. 팩토리얼의 정의역을 일반화해서 감마함수라는 것을 정의할 수도 있다.

더블 팩토리얼

자연수 $n$에 대해서 $n!!$을 $n$더블팩토리얼^{doble factorial, semifactorial, 겹계승} 이라 읽고 아래와 같이 정의한다.

$$n!!=n\cdot (n-2)\cdot (n-4) \cdot (n-6) \cdots$$

설명

팩토리얼이 $n$에서부터 $1$씩 뺀 값을 곱해나가는 것이었다면 더블 팩토리얼은 $n$에서부터 $2$씩 뺀 값을 곱해나가는 것이다. 따라서 $n$이 짝수이면 $2$에서 곱셈이 끝나고, 홀수이면 $1$에서 곱셈이 끝난다.$n$이 짝수이면,

$$n!!=\prod \limits_{k=1}^{\frac{n}{2}}(2k)=n\cdot(n-2)\cdots 4\cdot 2$$

$n$이 홀수이면,

$$n!!=\prod \limits_{k=1}^{\frac{n+1}{2}}(2k-1)=n\cdot(n-2)\cdots 3\cdot 1$$

예를들어 $7!!=7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=105$이고 $10!!=10\cdot 8\cdot 6\cdot 4\cdot 2=3840$

$n!!$은 $(n!)!$과 표기법이 헷갈리기 때문에 자주 쓰이지는 않는다. 물론 실제로 쓸만한 곳이 많지도 않다. 다만 양자역학 등에서 복잡한 수식을 다룰 때 편의를 위해 사용하긴 한다. 팩토리얼과 마찬가지로 $0!!=1$으로 정의한다.

멀티 팩토리얼

자연수 $n>k$에 대해서 $n!^{(k)}=n!_{k}$를 아래와 같이 정의하고 멀티 팩토리얼^{multifactorial, 다중계승}이라 한다.

$$n!^{(k)}=n\cdot(n-k)\cdot (n-2k) \cdot (n-3k)\cdots$$

설명

감마함수가 팩토리얼의 정의역을 확장한 것이라면 멀티 팩토리얼은 팩토리얼의 성질 그 자체를 확장한 것이라고 볼 수 있다. 더블 팩토리얼도 볼 일이 적기 때문에 당연히 멀티 팩토리얼은 더 만나기 어렵다. $n$에서부터 느낌표 갯수만큼 뺀 값을 음수가 나오기 전까지 곱해나가면 된다. 예를 들어

$$9!!!!=9\cdot 5\cdot 1,\quad 8!!!=8\cdot 5\cdot 2$$

$0<n \le k$인 경우에는 $n!^{(k)}=n$으로 정의하고 $-k < n\le 0$인 경우에는 $n!^{(k)}=1$으로 정의한다.

조크